Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir gümrük kapısındaki tek peronlu pasaport kontrol noktasında, yolcu gelişleri Poisson sürecine uymakta olup ortalama varış hızı saatte 30 yolcudur (λ=30\lambda = 30).

Pasaport kontrol memurunun hizmet süresi üstel dağılıma sahiptir ancak memurun çalışma hızı sistemdeki yolcu sayısına (nn) bağlı olarak değişmektedir. Sistemde sadece 1 yolcu varken (sadece işlem gören yolcu) memur standart hızında çalışmakta ve saatte 30 yolcuya hizmet verebilmektedir (μ1=30\mu_1 = 30). Ancak sistemde 2 veya daha fazla yolcu bulunduğunda (kuyruk oluştuğunda) memur baskı hissederek hızlanmakta ve saatte 60 yolcu kapasitesiyle hizmet vermektedir (n≥2n \ge 2 için μn=60\mu_n = 60).

Varış hızının sistemdeki yolcu sayısından bağımsız olduğu ve sistem kapasitesinin sonsuz olduğu bilindiğine göre, sistem denge (steady-state) durumundayken sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı (P2P_2) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16\frac{1}{6}Cevap
  2. B
    18\frac{1}{8}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. D
    112\frac{1}{12}
  5. E
    13\frac{1}{3}

Cevap

Sistemde tam olarak 2 yolcu bulunma olasılığı 16\frac{1}{6}'dır.
Doğum-ölüm süreçlerinde sistemin her bir durumu için Pn=CnP0P_n = C_n P_0 katsayısı hesaplanır. Soru kökündeki duruma göre varış hızı sabit (λ=30\lambda=30) iken, hizmet hızı n=1n=1 için 3030, n≥2n \ge 2 için 6060'tır. Bu durumda katsayılar C0=1,C1=1,C2=12,C3=14…C_0=1, C_1=1, C_2=\frac{1}{2}, C_3=\frac{1}{4}\dots şeklinde bir geometrik dizi oluşturur. Toplam katsayı 1+11−0.5=31 + \frac{1}{1-0.5} = 3 olduğundan P0=13P_0 = \frac{1}{3} bulunur. Sistemde tam olarak iki kişi olma olasılığı ise P2=C2⋅P0=12⋅13=16P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum ve ölüm süreçleri için hıza bağlı katsayıları (λn\lambda_n ve μn\mu_n) belirle.
Tüm n≥0n \ge 0 için λn=30\lambda_n = 30. Ölüm oranları ise μ1=30\mu_1 = 30 ve n≥2n \ge 2 için μn=60\mu_n = 60 şeklindedir.
Denge denklemlerinde durum olasılıklarını (PnP_n) hesaplamak için geçiş hızlarının her durum (nn) için açıkça bilinmesi gerekir.
2
Her bir nn durumu için Cn=λ0λ1⋯λn−1μ1μ2⋯μnC_n = \frac{\lambda_0 \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \mu_2 \cdots \mu_n} katsayılarını hesapla.
C0=1C_0 = 1. C1=3030=1C_1 = \frac{30}{30} = 1. C2=30⋅3030⋅60=12C_2 = \frac{30 \cdot 30}{30 \cdot 60} = \frac{1}{2}. C3=30⋅30⋅3030⋅60⋅60=14C_3 = \frac{30 \cdot 30 \cdot 30}{30 \cdot 60 \cdot 60} = \frac{1}{4}. Genel terim n≥1n \ge 1 için Cn=(12)n−1C_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} olur.
Her durumun olasılığı, boş olma olasılığının (P0P_0) bu katsayılarla çarpımına eşittir (Pn=CnP0P_n = C_n P_0).
3
Tüm olasılıkların toplamının 1 olmasından yola çıkarak P0P_0 değerini bul (∑Pn=1⇒P0∑Cn=1\sum P_n = 1 \Rightarrow P_0 \sum C_n = 1).
Toplam S=C0+C1+C2+⋯=1+(1+12+14+… )S = C_0 + C_1 + C_2 + \dots = 1 + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots\right). Parantez içi sonsuz geometrik dizidir ve toplamı 11−0.5=2\frac{1}{1-0.5} = 2 yapar. Genel toplam 1+2=31 + 2 = 3 olur. Dolayısıyla P0=13P_0 = \frac{1}{3}'tür.
Kuyruk modelinin steady-state (denge) durumunda olabilmesi için olasılık uzayının toplamı 1'e eşitlenmelidir.
4
Pn=CnP0P_n = C_n P_0 bağıntısını kullanarak istenen P2P_2 değerini hesapla.
P2=C2⋅P0=12⋅13=16P_2 = C_2 \cdot P_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} olarak bulunur.
Sistemde tam olarak 2 kişi olması, sistemin n=2n=2 durumunda bulunması demektir.

Anahtar Kavram

Durum-bağımlı Doğum ve Ölüm Süreçleri Denge Denklemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru