Examkin

Soru

Zorluk: KolayÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bir kamu kurumunun Strateji Geliştirme Başkanlığı tarafından yürütülen bir veri analizi çalışmasında, 4 farklı performans göstergesine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Elde edilen varyans-kovaryans matrisinin (Σ\mathbf{\Sigma}) özdeğerleri (λ1,λ2,λ3,λ4\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4) ve özvektörleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Tüm özdeğerlerin toplamı (∑i=14λi\sum_{i=1}^{4} \lambda_i), matrisin izine (trace) eşittir.
  2. B
    Özdeğerlerin çarpımı (∏i=14λi\prod_{i=1}^{4} \lambda_i), varyans-kovaryans matrisinin determinantına (∣Σ∣|\mathbf{\Sigma}|) eşittir.
  3. C
    Özvektörler birbirine dik (ortogonal) ve birim uzunluktadır.
  4. D
    Her bir özdeğer, ilgili temel bileşen tarafından açıklanan varyans miktarını temsil eder.
  5. Özdeğerlerin toplamı, varyans-kovaryans matrisinin determinantına eşittir.Cevap

Cevap

Özdeğerlerin toplamının matrisin determinantına eşit olduğunu belirten ifade yanlıştır.
Doğru cevap olan ifade yanlıştır çünkü lineer cebir prensiplerine ve Temel Bileşenler Analizi varsayımlarına göre, özdeğerlerin toplamı matrisin determinantına değil, matrisin izine (trace) eşittir. Determinant ise tüm özdeğerlerin çarpımı yoluyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Özdeğerlerin toplamı ile ilgili kuralı hatırla.
∑λi=tr(Σ)\sum \lambda_i = \text{tr}(\mathbf{\Sigma}) (İz)
Varyans-kovaryans matrisinin izi, değişkenlerin toplam varyansına ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamına eşittir.
2
Özdeğerlerin çarpımı ile ilgili kuralı hatırla.
∏λi=∣Σ∣\prod \lambda_i = |\mathbf{\Sigma}| (Determinant)
Bir matrisin determinantı, o matrisin özdeğerlerinin geometrik çarpımını temsil eder.
3
Seçenekleri bu kurallara göre değerlendir.
Toplamın determinant olduğu ifadesi yanlıştır.
Toplam determinantı değil, iz değerini vermelidir.

Anahtar Kavram

Özdeğerler ve Özvektörlerin Matris Özellikleri (İz ve Determinant İlişkisi)
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru