Bir tarım ekonomisti, bir bölgedeki gübre kullanım miktarı (X, kg/dekar) ile dekar başına … — KPSS İstatistik

Bir tarım ekonomisti, bir bölgedeki gübre kullanım miktarı ( $X$ , kg/dekar) ile dekar başına elde edilen buğday verimi ( $Y$ , ton) arasındaki ilişkiyi modellemek istemektedir. Araştırmacı başlangıçta bağımlı değişkenin doğal logaritmasını alarak $\ln(Y_i) = 1.2 + 0.05 X_i$ şeklinde yarı-logaritmik (log-lin) bir regresyon modeli tahmin etmiştir. Ancak bu fonksiyonda gübre miktarı arttıkça verimin sonsuza kadar üstel büyüyeceği varsayımının biyolojik gerçeklere aykırı olduğunu fark etmiştir.

Bunun üzerine araştırmacı, verimin belirli bir doygunluk noktasına (asimptot) yakınsayacağını öngören ters (hiperbolik) regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiş ve şu denklemi elde etmiştir:

\hat{Y}_i = 8.5 - 42.5 \left( \frac{1}{X_i} \right)

Araştırmacı, hiperbolik modelin belirtme katsayısının ( $R^2 = 0.81$ ), ilk kurduğu log-lin modelinkinden ( $R^2 = 0.74$ ) daha yüksek olduğunu raporlayarak yeni modelin daha başarılı olduğunu savunmuştur.

Bu araştırma süreci ve nihai hiperbolik model dikkate alındığında, aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel ve ekonometrik olarak doğrudur?

Gübre kullanımı sonsuza yaklaştığında verim asimptotik olarak $8.5$ ton/dekar sınırına ulaşır ve bağımlı değişkenin ölçüm formu iki modelde birbirinden farklı olduğu için (biri $Y$ , diğeri $\ln Y$ ), raporlanan $R^2$ değerleri birbiriyle doğrudan karşılaştırılamaz.Cevap
B
Gübre miktarı artırıldıkça verim azalarak $-42.5$ tonluk asimptotik bir sınıra yakınsar ve hiperbolik modeldeki negatif parametre ( $-42.5$ ), gübrenin verim üzerindeki marjinal etkisinin sürekli negatif olduğunu gösterir.
C
Hiperbolik modelin genel anlamlılığını sınamak için t-testi, $1/X$ değişkenine ait katsayının istatistiksel anlamlılığını sınamak için ise F-testi kullanılmalıdır; testler sonucunda model anlamlı bulunursa asimptotik sınır sıfır kabul edilir.
D
İlk kurulan log-lin modeldeki $0.05$ katsayısı sabit esneklik değerini ifade eder; yani gübre miktarındaki %1'lik artışın verimde %5'lik bir artışa neden olacağını gösterdiğinden, araştırmacının ilk modeli tercih etmesi gerekirdi.
E
Asimptotik verim sınırı $8.5$ ton/dekar olarak doğru bulunsa da, iki modelin performansını kıyaslamak için her zaman ham $R^2$ değerlerine bakılmalıdır; hiperbolik modelin $R^2$ değeri ( $0.81$ ) daha yüksek olduğu için bu modelin doğrusal ilişkiyi daha iyi açıkladığı kesin olarak kanıtlanmıştır.

Cevap

Gübre kullanımı sonsuza yaklaştığında verim asimptotik olarak 8.5 ton/dekar sınırına ulaşır ve bağımlı değişkenin ölçüm formu iki modelde birbirinden farklı olduğu için (biri Y, diğeri lnY), raporlanan R² değerleri birbiriyle doğrudan karşılaştırılamaz.

Verilen

Y = \beta_0 + \beta_1(1/X)

ters hiperbolik modelinde asimptotik sınır

\lim_{X \to \infty} Y = \beta_0

değeriyle bulunur ve bu değer olayımızda

8.5

'tir. Ek olarak, istatistiksel ve ekonometrik teori gereği, bağımlı değişkenleri

Y

\ln Y

olarak birbirinden farklı tanımlanmış iki ayrı modelin uyum iyiliklerini belirleme katsayılarına (

R^2

) bakarak doğrudan karşılaştırmak mümkün değildir. Bu sebeple sadece doğru seçenekteki iki önerme bir arada hatasız olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

Ters hiperbolik modelin matematiksel limitini hesapla.

X sonsuza giderken (

\lim_{X \to \infty}

\frac{1}{X}

terimi 0'a yaklaşır. Dolayısıyla

\hat{Y} = 8.5 - 42.5(0) = 8.5

ton/dekar teorik tavan değeridir (asimptot).

Bağımsız değişken çok büyük değerler aldığında modelin hangi değere doygunluğa ulaştığını (asimptotik sınır) bulmak için limite bakılır.

Hiperbolik modelin marjinal etkisini belirlemek için X'e göre türev al.

\frac{dY}{dX} = -42.5 \cdot (-\frac{1}{X^2}) = \frac{42.5}{X^2}

. Bu değer daima pozitiftir. Yani X arttıkça Y azalmaz, artar.

Gübrenin verim üzerindeki etkisinin yönünü (azaltıcı mı artırıcı mı) matematiksel olarak kanıtlamak için birinci türeve bakılmalıdır.

Farklı bağımlı değişken formlarına (Y ve lnY) sahip modellerin R² değerlerinin karşılaştırılabilirliğini değerlendir.

Doğrusal bağımlı değişkenli (Y) model ile logaritmik bağımlı değişkenli (

\ln Y

) modelin toplam varyansları farklı birim ve ölçekte olduğundan R² değerleri doğrudan karşılaştırılamaz.

R², bağımlı değişkenin toplam varyansının açıklanan kısmıdır. Açıklanacak varyansların kendileri (Y'nin varyansı ile lnY'nin varyansı) yapısal olarak farklı olduğunda, açıklama oranlarının ham olarak kıyası geçersizdir.

Anahtar Kavram

Ters (Hiperbolik) Regresyon Modellerinde Asimptotik Limit ve Fonksiyonel Form Seçimi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru