Bir fabrikadaki kalite kontrol birimi, üretim bandından çıkan elektronik parçaları kusurlu… — KPSS İstatistik

Bir fabrikadaki kalite kontrol birimi, üretim bandından çıkan elektronik parçaları kusurlu bir parça bulana kadar sırasıyla test etmektedir. Her bir parçanın kusurlu olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk kusurlu parçanın bulunması için gereken toplam test sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Test sürecinin toplam maliyeti $M = 2X + 10$ (TL) olarak modellenmiştir ve bu maliyetin varyansı $Var(M) = 24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kalite kontrol sürecinde test edilen ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilindiğine göre, ilk kusurlu parçanın tam olarak 6. testte bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{4}{27}$ Cevap
B
$\frac{9}{64}$
C
$\frac{8}{81}$
D
$\frac{4}{9}$
E
$\frac{32}{729}$

Cevap

Doğru yanıt, hafızasızlık özelliği kullanılarak elde edilen \frac{4}{27} olasılığını veren seçenektir.

Sorunun çözümünde iki temel istatistiksel özellik bir arada kullanılmalıdır. Öncelikle, maliyetin varyansından parça kusur olasılığı p bulunmalıdır.

Var(2X+10) = 2^2 Var(X) = 4Var(X) = 24

eşitliğinden

Var(X)=6

elde edilir. Toplam deneme sayısını modelleyen Geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2} = 6

şeklinde kurularak

p=1/3

hesaplanır. İkinci aşamada, ilk 3 parçanın sağlam olduğu bilgisi ışığında 6. parçanın kusurlu olma koşullu olasılığı olan

P(X=6 \mid X>3)

istenmektedir. Geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) kuralı uyarınca bu olasılık

P(X=3)

'e eşittir. Olasılık kütle fonksiyonu uygulanarak

(1 - 1/3)^{3-1} \cdot (1/3) = \frac{4}{27}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Varyans özelliklerini kullanarak X'in varyansını hesaplama

Var(M) = Var(2X + 10) = 4Var(X) = 24 denkleminden Var(X) = 6 bulunur.

Maliyet fonksiyonundaki doğrusal dönüşümün varyansa etkisini doğru ayrıştırmak için Var(aX+b) = a^2Var(X) kuralı uygulanmalıdır.

Geometrik dağılımın varyans formülünden başarı olasılığını (p) bulma

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = 6 denklemi çözülerek 6p^2 + p - 1 = 0 elde edilir. Köklerden pozitif olan p = 1/3 bulunur.

X, ilk başarıya (kusurlu ürün) kadar geçen toplam deneme sayısı olduğundan p parametresi varyans üzerinden hesaplanmalıdır.

Koşullu olasılık ifadesini basitleştirme

P(X = 6 \mid X > 3) ifadesi, Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği P(X = 6 - 3) = P(X = 3) şekline dönüşür.

Geometrik dağılım hafızasızdır; geçmişteki başarısız denemeler, gelecekteki başarı olasılığı dağılımını etkilemez.

İstenen olasılığı hesaplama

P(X = 3) = (1 - p)^{3-1}p = (1 - 1/3)^2(1/3) = (2/3)^2(1/3) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27} elde edilir.

Tam olarak k. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı P(X = k) = (1-p)^{k-1}p formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımda Hafızasızlık Özelliği ve Varyans

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru