Examkin

Soru

Zorluk: KolayÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanan bir araştırmada, üç değişkene ait varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanları (değişken varyansları) sırasıyla 14,1014, 10 ve 66 olarak hesaplanmıştır. Bu matris üzerinden elde edilecek tüm özdeğerlerin (λ1,λ2,λ3\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) toplamı kaçtır?

  1. 30Cevap
  2. B
    840
  3. C
    3
  4. D
    10
  5. E
    20

Cevap

Özdeğerlerin toplamı 30'dur.
Çok değişkenli analizde ve lineer cebirde, bir kare matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin ana köşegeni üzerindeki elemanların toplamı olan izine (trace) eşittir. Temel Bileşenler Analizi'nde varyans-kovaryans matrisinin izi toplam varyansı temsil eder. Soruda verilen 14,1014, 10 ve 66 değerlerinin toplamı 3030 olduğu için, bu matristen elde edilecek özdeğerlerin toplamı da 3030 olacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisin izini (trace) belirle.
I˙z(Σ)=14+10+6=30İz(\mathbf{\Sigma}) = 14 + 10 + 6 = 30
Varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamı matrisin izini verir.
2
Özdeğerler ve iz arasındaki ilişkiyi kullan.
∑i=1pλi=I˙z(Σ)\sum_{i=1}^{p} \lambda_i = İz(\mathbf{\Sigma})
Lineer cebir ve çok değişkenli analiz özelliklerine göre, bir matrisin özdeğerlerinin toplamı, o matrisin izine (ana köşegen elemanlarının toplamına) eşittir.
3
Sonucu doğrula.
14+10+6=3014 + 10 + 6 = 30
Verilen varyans değerlerinin toplamı, toplam varyansı ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamını ifade eder.

Anahtar Kavram

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine (trace) eşittir.

Daha Fazla Pratik

Özdeğerlerin çarpımı ile matrisin determinantı arasındaki ilişkiyi inceleyen benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam varyans kavramından yola çıkarak, her bir değişkenin varyansının toplam veri seti varyansına katkısı düşünüldüğünde, tüm bileşenlerin (özdeğerlerin) bu toplam varyansı tam olarak paylaştığı hatırlanabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru