Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir kamu projesinde iki farklı aşamanın tamamlanma süreleri XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Proje kaynaklarının verimli kullanımı adına bu iki aşamanın toplam süresinin en fazla 10 saat (X+Y≤10X + Y \leq 10) olması hedeflenmektedir. Bu kısıtlama altında, değişkenlerin negatif değer alamayacağı (x≥0,y≥0x \geq 0, y \geq 0) bilinmektedir.

Buna göre, XX ve YY rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Tanımlanan destek kümesi (destek bölgesi) bir dikdörtgen oluşturmadığı için XX ve YY bağımlı değişkenlerdir.Cevap
  2. B
    XX ve YY her zaman bağımsızdır çünkü iki farklı aşamanın süreleri birbirini fiziksel olarak etkilemez.
  3. C
    Eğer her iki değişken de normal dağılıma sahipse, toplam süre kısıtı bağımsızlığı etkilemez.
  4. D
    Kovaryansın sıfır (Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0) olduğu hesaplanırsa, bu kısıt altında bile değişkenlerin bağımsız olduğu söylenebilir.
  5. E
    Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının çarpımı her zaman ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna eşittir.

Cevap

Destek kümesi bir dikdörtgen oluşturmadığı ve değişkenlerin sınırları birbirine bağlı olduğu için değişkenler bağımlıdır.
İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için temel matematiksel şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin bir dikdörtgen (veya sonsuz çeyrek düzlem gibi kartezyen çarpım) olmasıdır. Soruda verilen x+y≤10x+y \leq 10 kısıtı, YY'nin sınırlarını XX'e bağlı hale getirdiği için (veya tam tersi), bu değişkenlerin bağımsız olması matematiksel olarak imkansızdır.

Adım Adım Çözüm

1
Destek kümesinin (tanım aralığının) belirlenmesi
Destek kümesi: D={(x,y):0≤x,0≤y,x+y≤10}D = \{(x,y) : 0 \leq x, 0 \leq y, x + y \leq 10\}
Bağımsızlık incelemesinde ilk adım ortak yoğunluk fonksiyonunun sıfırdan farklı olduğu bölgeyi kontrol etmektir.
2
Sınırların birbirine bağımlılığının kontrolü
0≤y≤10−x0 \leq y \leq 10 - x
YY değişkeninin alabileceği değerlerin üst sınırı, XX değişkeninin o andaki değerine göre değişmektedir.
3
Bağımsızlık kuralı ile karşılaştırma
Bölge dikdörtgensel (kartezyen çarpım) olmadığı için bağımsızlık şartı ihlal edilir.
Bağımsızlık için f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) şartının yanı sıra destek kümesinin de IA(x)IB(y)I_A(x)I_B(y) şeklinde ayrıştırılabilir olması (dikdörtgen olması) gerekir.

Anahtar Kavram

Sürekli rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için destek kümesinin (support) dikdörtgensel olması zorunluluğu.

Daha Fazla Pratik

Bağımsız değişkenlerin toplamının varyansının, varyansların toplamına eşit olduğunu (kovaryansın 0 olması nedeniyle) hatırlayarak benzer problemleri çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı