Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMultinomiyal Dağılım

Bir İl Göç İdaresi Müdürlüğü'ne yapılan ikamet izni başvurularının sonuçları dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır:

- Onaylananlar (O1O_1), %40 oranında,
- Eksik Evrak / Bekleyenler (O2O_2), %30 oranında,
- Reddedilenler (O3O_3), %20 oranında,
- İptal Edilenler (O4O_4), %10 oranında.

Rastgele seçilen n=200n=200 başvuru inceleniyor ve bu kategorilere düşen başvuru sayıları sırasıyla X1,X2,X3,X4X_1, X_2, X_3, X_4 rastgele değişkenleri ile gösteriliyor.

İdare, süreç analizi için iki yeni performans değişkeni tanımlamıştır:
Y=X1−X2Y = X_1 - X_2 (Onaylananlar ile Bekleyenler arasındaki fark)
Z=X2+X3Z = X_2 + X_3 (Bekleyenler ve Reddedilenlerin toplamı)

Buna göre, YY ve ZZ değişkenleri arasındaki kovaryans, Cov(Y,Z)Cov(Y, Z) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -94
  2. B
    -88
  3. -70Cevap
  4. D
    -42
  5. E
    -14

Cevap

Doğru cevap -70'tir.
Multinomiyal dağılımda Var(Xi)=npi(1−pi)Var(X_i) = n p_i (1-p_i) ve Cov(Xi,Xj)=−npipjCov(X_i, X_j) = -n p_i p_j temel özelliklerdir. Öğrencinin Cov(X1−X2,X2+X3)Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) ifadesini kovaryansın bilineerlik özelliği ile Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Var(X2)−Cov(X2,X3)Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3) şeklinde doğru açması gerekmektedir. Değerler yerine konduğunda: (−24)+(−16)−42−(−12)=−70(-24) + (-16) - 42 - (-12) = -70 işlemine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın türünü ve parametrelerini belirle.
Bu durum, n=200n=200 ve olasılıkları sırasıyla p1=0.4,p2=0.3,p3=0.2,p4=0.1p_1=0.4, p_2=0.3, p_3=0.2, p_4=0.1 olan bir Multinomiyal dağılımdır.
Her bir deneme (başvuru) dört ayrık ve bağımlı sonuçtan birine sahiptir.
2
Multinomiyal dağılım için varyans ve kovaryans formüllerini yaz.
Marjinal varyans Var(Xi)=npi(1−pi)Var(X_i) = n p_i (1-p_i) ve iki farklı kategori arasındaki kovaryans Cov(Xi,Xj)=−npipjCov(X_i, X_j) = -n p_i p_j şeklindedir.
Multinomiyal dağılımda toplam deneme sayısı sabit olduğu için kategoriler arasında negatif bir bağımlılık vardır.
3
İstenen Cov(Y,Z)Cov(Y, Z) ifadesini doğrusal özellikler kullanarak aç.
Cov(X1−X2,X2+X3)=Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Cov(X2,X2)−Cov(X2,X3)Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Cov(X_2, X_2) - Cov(X_2, X_3) elde edilir.
Kovaryansın bilineerlik (iki doğrusallık) özelliği, Cov(aX+bY,cW+dZ)Cov(aX+bY, cW+dZ) şeklindeki ifadelerin dağıtılmasına izin verir. Not: Cov(X2,X2)=Var(X2)Cov(X_2, X_2) = Var(X_2)'dir.
4
Açılımdaki her bir terimi formülleri kullanarak hesapla.
Cov(X1,X2)=−200(0.4)(0.3)=−24Cov(X_1, X_2) = -200(0.4)(0.3) = -24
Cov(X1,X3)=−200(0.4)(0.2)=−16Cov(X_1, X_3) = -200(0.4)(0.2) = -16
Var(X2)=200(0.3)(1−0.3)=200(0.3)(0.7)=42Var(X_2) = 200(0.3)(1-0.3) = 200(0.3)(0.7) = 42
Cov(X2,X3)=−200(0.3)(0.2)=−12Cov(X_2, X_3) = -200(0.3)(0.2) = -12
Adım 2'de belirlenen formüllere Adım 1'deki parametreler yerleştirilmiştir.
5
Bulunan değerleri Adım 3'teki açılımda yerine koy ve sonucu hesapla.
Cov(Y,Z)=(−24)+(−16)−42−(−12)=−40−42+12=−70Cov(Y, Z) = (-24) + (-16) - 42 - (-12) = -40 - 42 + 12 = -70 bulunur.
Bütün bileşenlerin cebirsel olarak doğru işaretlerle toplanması gereklidir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Beklenen Değer, Varyans ve Kovaryans
Bu soruyu puanla

Konular

Multinomiyal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru