Bir finansal risk analizi modelinde, bir yatırım portföyünün piyasa dalgalanmalarına karşı… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analizi modelinde, bir yatırım portföyünün piyasa dalgalanmalarına karşı duyarlılığını ölçen $X$ ve piyasa oynaklık endeksini temsil eden $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak (eşanlı) olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x,y) = \begin{cases} 15x^2y, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu modelde, Toplam Varyans Kuralı (Law of Total Variance) bağlamında portföyün risk bileşenleri incelenmektedir.

Buna göre, $X$ 'in $Y=y$ verildiğindeki koşullu varyansı $Var(X|Y=y)$ ile $X$ 'in toplam varyansının koşullu varyanslar yardımıyla hesaplanan bileşeni $E[Var(X|Y)]$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\frac{3}{80}y^2$ ve $\frac{3}{112}$ Cevap
B
$\frac{3}{5}y^2$ ve $\frac{3}{7}$
C
$\frac{3}{80}$ ve $\frac{3}{80}$
D
$\frac{17}{448}$ ve $\frac{17}{448}$
E
$\frac{3}{4}y$ ve $\frac{5}{8}$

Cevap

Modelde

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu varyansı

\frac{3}{80}y^2

ve bu koşullu varyansın beklenen değeri

\frac{3}{112}

olarak bulunur.

Çözüm iki temel aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu

f_Y(y) = 5y^4

bulunur. Ardından koşullu PDF

f_{X|Y}(x|y) = \frac{3x^2}{y^3}

türetilir. Birinci ve ikinci koşullu momentler yardımıyla

Var(X|Y=y) = \frac{3}{5}y^2 - (\frac{3}{4}y)^2 = \frac{3}{80}y^2

değerine ulaşılır. İkinci aşamada ise, Toplam Varyans Kuralı'nın ilgili bileşeni olan

E[Var(X|Y)]

, az önce bulunan varyansın

Y

üzerinden entegre edilmesiyle

E[\frac{3}{80}Y^2] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot 5y^4 \, dy = \frac{3}{112}

olarak neticelendirilir.

Adım Adım Çözüm

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_Y(y)

) integrasyon ile bulunması.

f_Y(y) = \int_0^y 15x^2y \, dx = 15y \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^y = 5y^4 \quad (0 < y < 1)

Koşullu dağılım formülünde paydayı oluşturmak ve beklenti hesaplarında kullanmak içindir.

X

'in

Y=y

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun (

f_{X|Y}(x|y)

) elde edilmesi.

f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \frac{15x^2y}{5y^4} = \frac{3x^2}{y^3} \quad (0 < x < y)

Koşullu beklenen değerleri türetebilmek için

Y

'ye bağlı koşullu PDF gereklidir.

Koşullu birinci ve ikinci momentlerin (

E[X|Y=y]

E[X^2|Y=y]

) hesaplanması.

E[X|Y=y] = \int_0^y x \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^y = \frac{3}{4}y

E[X^2|Y=y] = \int_0^y x^2 \frac{3x^2}{y^3} \, dx = \frac{3}{y^3}\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^y = \frac{3}{5}y^2

Varyans hesabında kullanılacak moment bileşenlerini belirlemek içindir.

Koşullu varyansın (

Var(X|Y=y)

) varyans formülüyle elde edilmesi.

Var(X|Y=y) = E[X^2|Y=y] - (E[X|Y=y])^2 = \frac{3}{5}y^2 - \left(\frac{3}{4}y\right)^2 = \left(\frac{3}{5} - \frac{9}{16}\right)y^2 = \frac{48 - 45}{80}y^2 = \frac{3}{80}y^2

Sorunun ilk aşamasındaki istenen hedef fonksiyonu hesaplamak içindir.

Koşullu varyansın beklenen değerinin (

E[Var(X|Y)]

)

Y

'nin marjinal dağılımı kullanılarak çözülmesi.

E[Var(X|Y)] = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 \cdot f_Y(y) \, dy = \int_0^1 \frac{3}{80}y^2 (5y^4) \, dy = \frac{15}{80} \int_0^1 y^6 \, dy = \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{112}

Toplam varyans kuralının bir parçası olan, koşullu varyansın beklentisini (ikinci isteneni) bulmak içindir.

Anahtar Kavram

Koşullu Beklenen Değer, Koşullu Varyans ve Toplam Varyans Kuralı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular