Bir tarım araştırmacısı, 4 farklı gübre türü (A faktörü) ve 5 farklı sulama yönteminin (B … — KPSS İstatistik

Bir tarım araştırmacısı, $4$ farklı gübre türü (A faktörü) ve $5$ farklı sulama yönteminin (B faktörü) bitki verimi üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki yönlü varyans analizi (ANOVA) planlamaktadır. Zaman ve maliyet kısıtları nedeniyle, her bir gübre-sulama kombinasyonu (hücre) için yalnızca bir adet gözlem yapılabilmiştir ( $n=1$ ). Araştırmacı, test edilebilecek bir hata terimi kalabilmesi için analizini toplanabilir (etkileşimsiz) model üzerinden kurarak sadece ana etkileri test etmeye karar verir.

Ancak, araştırmacının bilmediği bir gerçek olarak, yığın (popülasyon) düzeyinde gübre türü ile sulama yöntemi arasında istatistiksel olarak anlamlı ve oldukça güçlü bir etkileşim etkisi bulunmaktadır.

Buna göre, popülasyonda var olan bu etkileşim etkisinin modele dahil edilememesi (toplanabilir modelin kullanılması), araştırmacının analiz sonuçlarını ve istatistiksel kararlarını nasıl etkiler?

Hata kareler ortalaması ( $MS_E$ ) gerçekte olduğundan daha büyük tahmin edileceği için, faktörlerin ana etkilerine yönelik yapılacak F testlerinin istatistiksel gücü azalır.Cevap
B
Etkileşim etkisi, gruplar içi hata varyansından bağımsız bir kaynağa dönüşerek test edileceğinden, toplanabilir model kullanılmasına rağmen ana etkilerin anlamlılığı bu durumdan etkilenmez.
C
Kareler toplamlarının ayrıştırılmasındaki toplanabilirlik varsayımı çökeceği için, ihmal edilen etkileşim nedeniyle ana etkilerin kareler toplamları matematiksel olarak negatif değerler alır.
D
Hücre başına yalnızca tek gözlem bulunması, modeli matematiksel olarak sabit etkili modelden tesadüfi etkili (Model II) modele dönüştüreceğinden beklenen kareler ortalaması kuralları değişir.
E
Ana etkilerin serbestlik dereceleri toplamı genel serbestlik derecesini tamamen tüketeceğinden, modelde hata kareler ortalamasını ( $MS_E$ ) hesaplayabilmek için serbestlik derecesi kalmaz.

Cevap

Toplanabilir (etkileşimsiz) modelde, modele dahil edilmeyen etkileşim etkisi hata teriminin içerisine karışır ve hata kareler ortalamasını (

MS_E

) gerçekte olduğundan daha büyük tahmin etmemize neden olur. Şişen hata terimi, ana etkiler için hesaplanan F istatistiklerinin küçülmesine yol açarak istatistiksel gücü azaltır.

Doğru yanıt, hata teriminin şişmesi nedeniyle F testinin gücünün düşeceğini belirten seçenektir. Hücre başına tek gözlem olan tasarımlarda etkileşimi tahmin etmeye yetecek veri bulunmadığından, modelde etkileşimin olmadığını (toplanabilirlik) varsaymak zorunludur. Ancak doğada/popülasyonda gerçek bir etkileşim varsa, modele alınmayan bu güçlü varyans kaynağı sistemde 'açıklanamayan varyans' yani hata (residual) olarak sınıflandırılır. Bu durumda hesaplanan hata kareler ortalaması (

MS_E

), saf rastgele hatadan çok daha büyük olur. F formülünde (

F=MS_A/MS_E

) bölen değer (payda) suni olarak büyüdüğü için F test değeri küçülür. Test değerinin küçülmesi, anlamlı farklılıkları tespit etme şansımızı (istatistiksel güç) azaltır.

Adım Adım Çözüm

Hücre başına tek gözlemli (

n=1

) ANOVA tasarımının matematiksel özelliklerini belirlemek.

Gözlem sayısı yetersiz olduğundan etkileşim etkisini ayrı bir faktör olarak tahmin edebilecek serbestlik derecesi kalmaz. Bu nedenle araştırmacı, etkileşimin sıfır olduğunu varsayan toplanabilir modeli kurar.

Etkileşim modeline girmek için fazladan gözleme ihtiyaç vardır, aksi halde hata varyansı hesaplanamaz.

Popülasyonda gerçek bir etkileşim varsa toplanabilir modelin hata teriminin (

MS_E

) nasıl etkilendiğini analiz etmek.

Araştırmacının modele koymadığı gerçek etkileşim varyansı doğrudan deneysel hata varyansının içine dahil olur. Beklenen kareler ortalaması (

E(MS_E)

), yalnızca deneysel hatayı (

\sigma^2

) değil, hata ve etkileşim bileşenini birlikte yansıtır ve olması gerekenden yüksek çıkar.

Varyans analizi kuralı gereği açıklanamayan tüm kaynaklar hata (residual) teriminde birikir.

Şişmiş bir hata kareler ortalamasının (

MS_E

) F testlerine ve analizin sonucuna etkisini değerlendirmek.

Ana etkilerin F istatistikleri, faktör kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle (

F = MS_{AnaEtki} / MS_E

) bulunur. Paydadaki

MS_E

gereksiz yere büyük olduğunda, bölme işleminin sonucu (F değeri) matematiksel olarak daha küçük çıkar.

Payda büyüdükçe oran küçülür.

Küçülen F istatistiğinin tipik hipotez testi hataları üzerindeki yansımasını yorumlamak.

Daha küçük bir F değeri,

H_0

(Yokluk) hipotezini reddetmeyi zorlaştırır. Bu da gerçekte var olan ana etkileri tespit etme yeteneğini (istatistiksel gücü) düşürür ve yanlışlıkla

H_0

'ı kabul etme (II. Tip hata) olasılığını artırır.

İstatistiksel güç, gerçek bir etkiyi doğru şekilde tespit edebilme ihtimalidir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü ANOVA'da Toplanabilirlik Varsayımı ve Etkileşimin Hata Terimiyle Karışması (Confounding)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru