Bir büyükşehir belediyesine bağlı ulaşım dairesi, filosunda bulunan toplam N=125 adet yolc… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesine bağlı ulaşım dairesi, filosunda bulunan toplam $N=125$ adet yolcu minibüsünün koltuk deformasyon durumunu incelemek istemektedir. Her bir minibüste eşit sayıda ve $M=25$ adet yolcu koltuğu bulunmaktadır. Filodaki tüm minibüsler arasından basit rastgele örnekleme yöntemiyle $n=5$ adet minibüs seçilmiş ve bu minibüslerdeki tamir gerektiren (deforme olmuş) koltuk sayıları tespit edilmiştir.

Örnekleme sonucunda elde edilen veriler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Minibüs	Tamir Gerektiren Koltuk Sayısı
1	5
2	13
3	9
4	7
5	11

Buna göre, filodaki toplam tamir gerektiren koltuk sayısının tahmini ( $\hat{Y}$ ) ve bu tahminin varyansı ( $\hat{V}(\hat{Y})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$1.125$ ve $30.000$ Cevap
B
$1.125$ ve $31.250$
C
$1.125$ ve $1,92$
D
$28.125$ ve $30.000$
E
$1.125$ ve $240$

Cevap

Tahmin edilen kitle toplamı

1.125

ve bu tahminin varyansı

30.000

'dir.

Soruda her bir küme (minibüs) için elde edilen değerler

5, 13, 9, 7

11

'dir. Bu değerlerin ortalaması

\bar{y}_c = 9

ve kümeler arası örneklem varyansı

s_c^2 = 10

'dur. Toplam tamir gerektiren koltuk sayısının tahmini, kitledeki toplam küme sayısı (

N=125

) ile ortalamanın çarpımı olan

\hat{Y} = 125 \times 9 = 1.125

şeklinde bulunur. Bu tahminin varyansı ise,

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \frac{1-f}{n} s_c^2

formülünden yola çıkılarak hesaplanır. Kesir sadeleştirmesi yapıldığında

125^2 \times \frac{24}{125} \times 10 = 125 \times 24 \times 10 = 30.000

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Küme başına düşen örneklem ortalamasının (

\bar{y}_c

) hesaplanması.

\bar{y}_c = \frac{5 + 13 + 9 + 7 + 11}{5} = \frac{45}{5} = 9

Kitle toplamını tahmin etmek için öncelikle örneklemdeki kümelerin (minibüslerin) ortalamasını bulmak gerekir.

Kümeler arası örneklem varyansının (

s_c^2

) hesaplanması.

s_c^2 = \frac{(5-9)^2 + (13-9)^2 + (9-9)^2 + (7-9)^2 + (11-9)^2}{5-1} = \frac{16 + 16 + 0 + 4 + 4}{4} = \frac{40}{4} = 10

Tahmin varyansının hesaplanmasında kümeler arası farklılıkları yansıtan varyans değerine ihtiyaç vardır.

Kitle toplamının (

\hat{Y}

) tahmin edilmesi.

\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c = 125 \cdot 9 = 1.125

Küme örneklemesinde kitle toplamı, toplam küme sayısı ile örneklemdeki küme ortalamasının çarpımıyla elde edilir.

Kitle toplamının varyansının (

\hat{V}(\hat{Y})

) hesaplanması.

\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot \left(\frac{1-f}{n}\right) \cdot s_c^2 = 125^2 \cdot \left(\frac{1 - (5/125)}{5}\right) \cdot 10 = 125^2 \cdot \frac{120/125}{5} \cdot 10 = 125^2 \cdot \frac{24}{125} \cdot 10 = 125 \cdot 24 \cdot 10 = 30.000

Kitle toplamı tahmininin güvenirliğini ölçmek için

N^2

ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) içeren küme örneklemesi varyans formülü kullanılır.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde kitle toplamının ve toplam tahminin varyansının hesaplanması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru