Bir lojistik merkezindeki iki farklı paketleme hattında meydana gelen hata oranları X ve Y… — KPSS İstatistik

Bir lojistik merkezindeki iki farklı paketleme hattında meydana gelen hata oranları $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenleri ile temsil edilmektedir. Bu değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde tanımlanmıştır:

f(x, y) = \frac{1}{2}(x + 3y), \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

Buna göre, $Y$ hattına ait marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu $f_Y(y)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{6y + 1}{4}, \quad 0 < y < 1$ Cevap
B
$\frac{2y + 3}{4}, \quad 0 < y < 1$
C
$\frac{3y + 1}{2}, \quad 0 < y < 1$
D
$\frac{1 + 3y}{2}, \quad 0 < y < 1$
E
$\frac{y + 3}{4}, \quad 0 < y < 1$

Cevap

\frac{6y + 1}{4}, \quad 0 < y < 1

ifadesi doğru marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Verilen ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x, y) = \frac{1}{2}(x + 3y)

0 < x < 1

sınırları içerisinde

x

değişkenine göre entegre edildiğinde,

f_Y(y) = \frac{1}{2} [x^2/2 + 3xy]_0^1 = \frac{1}{2} (1/2 + 3y) = \frac{6y+1}{4}

sonucu elde edilir. Bu işlem,

Y

değişkeninin her bir değeri için

X

'in tüm olasılık kütlesinin toplanmasını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

Marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımını yazınız.

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx

Y

değişkeninin marjinalini bulmak için ortak fonksiyonun

X

değişkenine göre entegre edilmesi gerekir.

X

değişkeninin tanımlı olduğu

0 < x < 1

aralığı için integrali kurunuz.

f_Y(y) = \int_0^1 \frac{1}{2}(x + 3y) dx

Değişkenlerin tanım aralığı integralin sınırlarını belirler.

x

değişkenine göre integral alma işlemini gerçekleştiriniz.

f_Y(y) = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} + 3xy \right]_0^1

x

teriminin integrali

x^2/2

, sabit kabul edilen

3y

teriminin integrali ise

3xy

olur.

Sınır değerlerini (0 ve 1) yerine koyarak ifadeyi sadeleştiriniz.

f_Y(y) = \frac{1}{2} \left( (\frac{1^2}{2} + 3(1)y) - 0 \right) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 3y) = \frac{1}{4} + \frac{3y}{2} = \frac{1 + 6y}{4}

Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu (Sürekli Durum)

İpuçları

f_Y(y)

fonksiyonunu bulmak için ortak yoğunluk fonksiyonunu hangi değişkene göre entegre etmeniz gerektiğini hatırlayın.

Daha Fazla Pratik

Aynı ortak yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

X

değişkeninin marjinal yoğunluk fonksiyonu olan

f_X(x)

'i hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Konular