Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel Regresyon Modelleri

Bir şehir bölge plancısı, bir metropolde şehir merkezinden uzaklaştıkça nüfus yoğunluğunun nasıl değiştiğini incelemektedir. Araştırmacı, nüfus yoğunluğu (YY, kişi/km 2^2) ile şehir merkezine olan uzaklık (XX, km) arasındaki ilişkiyi modellemek için hata teriminin (uu) çarpımsal olarak yer aldığı Y=β0eβ1XeuY = \beta_0 e^{\beta_1 X} e^u üstel regresyon modelini kurmuştur.

EKK yöntemiyle tahmin yapabilmek için denklemin her iki tarafının doğal logaritması alınarak ln⁡(Y)=α+β1X+u\ln(Y) = \alpha + \beta_1 X + u doğrusal modeli (burada α=ln⁡(β0)\alpha = \ln(\beta_0)) elde edilmiştir. Yapılan analiz sonucunda uzaklık değişkeninin katsayısı β^1=−0,08\hat{\beta}_1 = -0,08 olarak bulunmuştur.

Bu modelin spesifikasyonu ve tahmin edilen katsayının yorumu dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Şehir merkezinden 1 km uzağa gidilmesi, nüfus yoğunluğunda ortalama 0,08 kişi/km 2^2'lik mutlak bir azalışa neden olmaktadır.
  2. B
    Modeldeki bağımsız değişkenin logaritması alınmadığı için katsayı doğrudan esneklik ifade eder; yani şehir merkezinden uzaklık %1 arttığında nüfus yoğunluğu ortalama %8 oranında azalır.
  3. C
    Uzaklık değişkeninin modele katkısının tek başına istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını sınamak için F-testi, modelin bütünsel olarak anlamlılığını sınamak için ise t-testi uygulanmalıdır.
  4. Model parametrelerine göre doğrusal hale getirilebildiğinden içsel olarak doğrusal (intrinsically linear) yapıdadır ve şehir merkezinden 1 km uzaklaşıldığında nüfus yoğunluğunun ortalama olarak yüzde (e−0,08−1)×100(e^{-0,08} - 1) \times 100 oranında azalması beklenir.Cevap
  5. E
    Bu modelden elde edilen belirtme katsayısı (R2R^2), dönüştürülmemiş doğrusal Y=α+βX+vY = \alpha + \beta X + v modelinin belirtme katsayısı ile doğrudan karşılaştırılarak veri seti için en uygun fonksiyonel form seçilebilir.

Cevap

Modelin içsel olarak doğrusal olduğunu ve katsayının tam yüzde değişim formülü olan (eβ^1−1)×100(e^{\hat{\beta}_1} - 1) \times 100 ile yorumlanması gerektiğini belirten ifadedir.
Üstel (yarı logaritmik / log-lin) regresyon modelleri, doğal logaritma dönüşümü ile parametrelerine göre doğrusal bir denkleme (ln⁡(Y)=α+β1X+u\ln(Y) = \alpha + \beta_1 X + u) dönüştürülebildikleri için ekonometride 'içsel olarak doğrusal' (intrinsically linear) kabul edilirler. Bu formda, bağımsız değişkendeki (XX) 1 birimlik mutlak değişimin bağımlı değişkenin (YY) beklenen değerinde yaratacağı kesin oransal (yüzde) değişim (eβ^1−1)×100(e^{\hat{\beta}_1} - 1) \times 100 formülü ile hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Modelin doğrusal olma durumunu (intrinsic linearity) analiz et
Orijinal model Y=β0eβ1XeuY = \beta_0 e^{\beta_1 X} e^u yapısındadır. Doğal logaritması alındığında ln⁡(Y)=ln⁡(β0)+β1X+u\ln(Y) = \ln(\beta_0) + \beta_1 X + u haline gelir. Parametrelerine göre doğrusal hale getirilebildiği için model 'içsel olarak doğrusal' (intrinsically linear) sınıfındadır.
EKK yönteminin uygulanabilmesi için modelin parametrelerine göre doğrusal olması gerekir.
2
Log-lin (Üstel) modelde eğim katsayısının (β1\beta_1) anlamını belirle
Bağımlı değişkenin logaritmik, bağımsız değişkenin doğrusal olduğu modellerde β1\beta_1 katsayısı, XX'teki 1 birimlik mutlak değişimin YY'de yaratacağı oransal (yüzde) değişimi ölçer.
Yarı logaritmik fonksiyonların türevi ve yorumlama kuralı gereğidir.
3
Tam (kesin) yüzde değişim formülünü uygula
Yaklaşık etki β1×100=−%8\beta_1 \times 100 = -\%8 olsa da, matematiksel olarak kesin yüzde değişim (eβ1−1)×100(e^{\beta_1} - 1) \times 100 formülü ile hesaplanır. Katsayı β^1=−0,08\hat{\beta}_1 = -0,08 olduğuna göre, beklenen değişim (e−0,08−1)×100(e^{-0,08} - 1) \times 100 olur.
Özellikle katsayı mutlak değerce büyüdüğünde yaklaşık formül hata payını artırır; akademik ve resmi sınavlarda kesin formülün bilinmesi beklenir.

Anahtar Kavram

Üstel Regresyon Modellerinin Doğrusallaştırılması ve Yarı Logaritmik Yorumlama
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Regresyon Modelleri

Bu konudan daha fazla soru