Examkin

Soru

Zorluk: ZorKitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Ticaret Bakanlığı Gümrükler Muhafaza Genel Müdürlüğü, bir limandaki N=200N = 200 adet konteynerden oluşan bir ithalat partisinde beyan harici (kaçak) eşya miktarını tahmin etmek amacıyla, iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=20n = 20 adet konteyneri detaylı denetime tabi tutmuştur.

Denetlenen konteynerlerde tespit edilen beyan harici eşya miktarlarının toplamı 160 kg160 \text{ kg}, bu değerlerin örneklem ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı ise 380380 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu ithalat partisindeki toplam beyan harici eşya miktarının tahmini (τ^\hat{\tau}) ve bu tahminin varyansı (V^(τ^)\hat{V}(\hat{\tau})) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. τ^=1.600 kg;V^(τ^)=36.000\hat{\tau} = 1.600 \text{ kg} ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 36.000Cevap
  2. B
    τ^=1.600 kg;V^(τ^)=40.000\hat{\tau} = 1.600 \text{ kg} ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 40.000
  3. C
    τ^=1.600 kg;V^(τ^)=34.200\hat{\tau} = 1.600 \text{ kg} ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 34.200
  4. D
    τ^=1.600 kg;V^(τ^)=0,9\hat{\tau} = 1.600 \text{ kg} ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 0,9
  5. E
    τ^=160 kg;V^(τ^)=36.000\hat{\tau} = 160 \text{ kg} ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 36.000

Cevap

İthalat partisindeki toplam miktar tahmini 1.600 kg ve bu tahminin varyansı 36.000 değerini veren seçenektir.
Verilen bilgiler ışığında örneklem ortalaması 160 / 20 = 8 kg'dır. Kitle toplamı nokta tahmini τ^=200⋅8=1.600 kg\hat{\tau} = 200 \cdot 8 = 1.600 \text{ kg} olur. Örneklem varyansı serbestlik derecesine bölünerek s2=380/19=20s^2 = 380 / 19 = 20 hesaplanır. İadesiz örneklemede kitle toplamı varyans formülü V^(τ^)=N2⋅(1−nN)⋅s2n\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot (1 - \frac{n}{N}) \cdot \frac{s^2}{n} şeklindedir. Değerler yerine konulduğunda 2002⋅(1−0,1)⋅2020=40.000⋅0,9⋅1=36.000200^2 \cdot (1 - 0,1) \cdot \frac{20}{20} = 40.000 \cdot 0,9 \cdot 1 = 36.000 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasının ve kitle toplamı tahmininin hesaplanması.
yˉ=16020=8 kg\bar{y} = \frac{160}{20} = 8 \text{ kg}, τ^=N⋅yˉ=200⋅8=1.600 kg\hat{\tau} = N \cdot \bar{y} = 200 \cdot 8 = 1.600 \text{ kg}.
Kitle toplamı tahmini, örneklem ortalamasının kitle hacmi (NN) ile çarpılmasıyla bulunur.
2
Yansız örneklem varyansının (s2s^2) hesaplanması.
s2=∑(yi−yˉ)2n−1=38020−1=20s^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n-1} = \frac{380}{20-1} = 20.
Varyans tahmininde yansızlık elde etmek için sapma kareleri toplamı serbestlik derecesi olan (n−1)(n-1)'e bölünmelidir.
3
Kitle toplamı tahmininin varyansının hesaplanması.
V^(τ^)=N2⋅s2n⋅(1−nN)=2002⋅2020⋅(1−20200)=40.000⋅1⋅0,9=36.000\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot \frac{s^2}{n} \cdot \left(1 - \frac{n}{N}\right) = 200^2 \cdot \frac{20}{20} \cdot \left(1 - \frac{20}{200}\right) = 40.000 \cdot 1 \cdot 0,9 = 36.000.
İadesiz seçim yapıldığından SKD çarpanı (1−nN)(1 - \frac{n}{N}) kullanılmalı ve kitle toplamının varyansı arandığı için formül N2N^2 ile genişletilmelidir.

Anahtar Kavram

Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru