İki farklı devlet üniversitesi (U_1 ve U_2), yeni açılacak lisansüstü programlara başarılı… — KPSS İstatistik

İki farklı devlet üniversitesi ( $U_1$ ve $U_2$ ), yeni açılacak lisansüstü programlara başarılı öğrencileri çekmek için rekabet etmektedir. Öğrenci havuzunun sabit olduğu bu sıfır toplamlı oyunda, $U_1$ üniversitesi $M_1, M_2, M_3$ olmak üzere üç farklı tanıtım stratejisi; $U_2$ üniversitesi ise $N_1, N_2, N_3, N_4$ olmak üzere dört farklı burs stratejisi belirlemiştir.

Aşağıdaki ödeme matrisinde satırlar $U_1$ üniversitesinin stratejilerini, sütunlar ise $U_2$ üniversitesinin stratejilerini göstermektedir. Matris içindeki değerler, $U_1$ üniversitesinin elde edeceği ek öğrenci yüzdelerini (kazançlarını) ifade etmektedir. $U_2$ üniversitesinin amacı ise bu değeri en aza indirmektir.

$U_1$ \ $U_2$	$N_1$	$N_2$	$N_3$	$N_4$
$M_1$	$20$	$15$	$18$	$16$
$M_2$	$10$	$12$	$14$	$10$
$M_3$	$8$	$10$	$22$	$18$

Bu rekabet durumu (oyun) ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Oyunun değeri $15$ 'tir ve $U_1$ üniversitesi için en iyi (optimal) strateji $M_1$ 'dir.Cevap
B
Oyunun eyer noktası $(M_2, N_3)$ strateji çiftidir ve bu noktada oyunun değeri $14$ 'tür.
C
Oyunun eyer noktası bulunmamaktadır, bu nedenle tarafların optimal sonuca ulaşması için karma stratejiler kullanması zorunludur.
D
$U_1$ üniversitesi $M_3$ stratejisini seçtiğinde, en kötü ihtimalle $\%22$ oranında ek öğrenci kazanmayı garanti altına alır.
E
$U_2$ üniversitesinin uygulayacağı optimal strateji $N_3$ 'tür, çünkü $U_1$ 'in kazancını maksimize eden değer bu sütunda yer alır.

Cevap

Oyunun değeri

15

'tir ve

U_1

üniversitesi için en iyi (optimal) strateji

M_1

'dir.

Sıfır toplamlı oyunlarda optimal strateji, satır oyuncusu için 'Maximin', sütun oyuncusu için 'Minimax' kuralı ile bulunur.

U_1

üniversitesinin stratejilerindeki satır minimumları sırasıyla

15, 10

8

'dir. Bunların en büyüğü (Maximin)

15

'tir ve

M_1

stratejisine aittir.

U_2

üniversitesinin stratejilerindeki sütun maksimumları ise sırasıyla

20, 15, 22

18

'dir. Bunların en küçüğü (Minimax)

15

'tir ve

N_2

stratejisine aittir. Maximin

=

Minimax

= 15

olduğundan, oyunun eyer noktası

(M_1, N_2)

'dir. Oyunun değeri

15

'tir ve

U_1

için en iyi strateji

M_1

'dir.

Adım Adım Çözüm

Satır oyuncusu (

U_1

) için her stratejinin en kötü (minimum) sonuçlarını belirlemek.

M_1

için

\min(20, 15, 18, 16) = 15

M_2

için

\min(10, 12, 14, 10) = 10

M_3

için

\min(8, 10, 22, 18) = 8

Satır oyuncusu, her stratejide kesinlikle elde edebileceği garanti kazanç sınırını bilmek ister.

Satır oyuncusunun garantilediği minimum kazançların en büyüğünü (Maximin) bulmak.

\max(15, 10, 8) = 15

. Bu değer

M_1

stratejisine aittir.

Satır oyuncusu, en kötü durumlar arasında kendisi için en yüksek kazancı veren (en iyi) seçeneği tercih eder.

Sütun oyuncusu (

U_2

) için her stratejinin en kötü (maksimum) sonuçlarını belirlemek.

N_1

için

\max(20, 10, 8) = 20

N_2

için

\max(15, 12, 10) = 15

N_3

için

\max(18, 14, 22) = 22

N_4

için

\max(16, 10, 18) = 18

Sütun oyuncusunun amacı satır oyuncusunun kazancını (kendi kaybını) en aza indirmektir. Bu yüzden önce maksimum kayıp potansiyellerini hesaplar.

Sütun oyuncusunun maksimum kayıplarının en küçüğünü (Minimax) bulmak.

\min(20, 15, 22, 18) = 15

. Bu değer

N_2

stratejisine aittir.

Sütun oyuncusu, karşılaşabileceği maksimum kayıplar arasından en düşük olanı seçerek riskini minimize eder.

Eyer noktasının varlığını kontrol etmek ve oyunun değerini belirlemek.

Maximin (

15

)

=

Minimax (

15

) olduğundan oyunun eyer noktası

(M_1, N_2)

strateji çiftidir ve oyunun değeri

15

'tir.

Maximin ve Minimax değerleri eşit olduğunda oyun saf stratejilerle dengeye ulaşır.

Anahtar Kavram

Oyun Teorisi Temel Kavramları: Maximin ve Minimax Kriterleri ile Eyer Noktası Analizi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru