Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir kamu kurumunun e-devlet portalı üzerinden sunulan bir hizmette, başvuruların eksiksiz tamamlanma olasılığı θ\theta parametresi ile modellenmektedir. Bu parametreye ilişkin uzman görüşlerine dayanılarak belirlenen önsel (prior) dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) olarak tanımlanmıştır. Sistemden rastgele seçilen 1010 başvuruluk bir örneklemde 88 başvurunun eksiksiz tamamlandığı gözlemlenmiştir. Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığına göre, θ\theta parametresinin Bayes nokta tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 57\frac{5}{7}Cevap
  2. B
    45\frac{4}{5}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    23\frac{2}{3}
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

Bayes nokta tahmini, sonsal dağılımın beklenen değeri olan 5/7'dir.
Verilen problemde önsel dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) ve gözlemler Binom dağılımına uygundur. Beta ve Binom dağılımları eşlenik olduğundan, sonsal dağılım da bir Beta dağılımıdır. Başarı sayısı 88 ve başarısızlık sayısı 22 olduğu için, sonsal parametreler α′=8+2=10\alpha'=8+2=10 ve β′=2+2=4\beta'=2+2=4 olarak güncellenir. Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir. Bu değer 1010+4=1014=57\frac{10}{10+4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunun belirlenmesi
Önsel: π(θ)∼Beta(α=2,β=2)\pi(\theta) \sim Beta(\alpha=2, \beta=2), Olabilirlik: X∼Binomial(n=10,θ)X \sim Binomial(n=10, \theta) ve gözlemlenen başarı x=8x=8.
Bayesyen güncelleme için gerekli başlangıç bileşenlerini tanımlamak gerekir.
2
Sonsal (posterior) dağılım parametrelerinin hesaplanması
α′=x+α=8+2=10\alpha' = x + \alpha = 8 + 2 = 10 ve β′=n−x+β=10−8+2=4\beta' = n - x + \beta = 10 - 8 + 2 = 4. Sonsal dağılım Beta(10,4)Beta(10, 4) olur.
Beta-Binomial eşlenik ailesinde sonsal dağılım parametreleri doğrudan toplama yoluyla güncellenir.
3
Kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisinin seçilmesi
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değeridir: E[θ∣x]=α′α′+β′=1010+4=1014=57E[\theta|x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{10}{10 + 4} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.
Karesel hata kaybı (squared error loss), Bayes riskini minimize eden değer olarak her zaman sonsal ortalamayı verir.

Anahtar Kavram

Beta-Binomial Eşlenik Dağılımlar ve Sonsal Ortalama

Daha Fazla Pratik

Mutlak hata kayıp fonksiyonu (absolute error loss) kullanılsaydı Bayes tahmin edicisinin sonsal medyan olacağını unutmayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru