Examkin

Soru

Zorluk: ZorDoğrusal Programlama Modeli Kurma

Bir İl Tarım ve Orman Müdürlüğü, toprak yapısı bozulan tarım arazilerinin ıslahı için "Nitrat-Bazlı" (x1x_1) ve "Fosfat-Bazlı" (x2x_2) hammaddeleri karıştırarak özel bir gübre harmanı hazırlayacaktır. Bu işlem için belirlenen maliyet ve içerik koşulları şöyledir:

- Nitrat-bazlı hammaddenin ton maliyeti 300300 TL, fosfat-bazlı hammaddenin ton maliyeti ise 400400 TL'dir. Müdürlük, harmanlama işlemini en düşük maliyetle gerçekleştirmeyi hedeflemektedir.
- Hazırlanacak harman, hektar başına en az 8080 birim azot ve en az 9090 birim fosfor ihtiyacını karşılamalıdır.
- Bir ton nitrat-bazlı hammadde 44 birim azot ve 33 birim fosfor içerirken; bir ton fosfat-bazlı hammadde 22 birim azot ve 55 birim fosfor içermektedir.
- Taşıma ve uygulama kapasitesi kısıtları nedeniyle, hektar başına uygulanacak toplam gübre harmanı miktarı 2525 tonu aşmamalıdır.
- Çevresel düzenlemeler gereği, kullanılacak nitrat-bazlı hammadde miktarı, fosfat-bazlı hammadde miktarının 33 katını aşmamalıdır.

Buna göre, bu problemin doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. min⁡Z=300x1+400x2Kısıtlar:4x1+2x2≥803x1+5x2≥90x1+x2≤25x1−3x2≤0x1,x2≥0 \begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned} Cevap
  2. B
    max⁡Z=300x1+400x2Kısıtlar:4x1+2x2≥803x1+5x2≥90x1+x2≤25x1−3x2≤0x1,x2≥0 \begin{aligned} \max Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  3. C
    min⁡Z=300x1+400x2Kısıtlar:4x1+2x2≤803x1+5x2≤90x1+x2≥25x1−3x2≤0x1,x2≥0 \begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\leq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\leq 90 \\ x_1 + x_2 &\geq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  4. D
    min⁡Z=300x1+400x2Kısıtlar:4x1+2x2≥803x1+5x2≥90x1+x2≤253x1−x2≤0x1,x2≥0 \begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ 3x_1 - x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  5. E
    min⁡Z=300x1+400x2Kısıtlar:4x1+2x2≥803x1+5x2≥90x1+x2≤25x1−3x2≥0 \begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevap

Modelin doğru formülasyonu maliyet minimizasyonunu (min⁡Z\min Z), doğru yönlü besin ve kapasite eşitsizliklerini, x1−3x2≤0x_1 - 3x_2 \leq 0 oran kısıtını ve pozitiflik kısıtlarını içeren seçenektir.
Doğru model; amaç fonksiyonunun min⁡Z\min Z olmasını, asgari ihtiyaçlar için ≥\geq, azami sınırlar için ≤\leq eşitsizliklerinin kullanılmasını ve x1≤3x2x_1 \leq 3x_2 (x1−3x2≤0x_1 - 3x_2 \leq 0) oran kısıtı ile birlikte pozitiflik kısıtının eksiksiz olarak denkleme dökülmesini sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunu belirle.
Amaç, gübre harmanının maliyetini en aza indirmek olduğundan fonksiyon min⁡Z=300x1+400x2\min Z = 300x_1 + 400x_2 olarak yazılır.
Problem metninde açıkça 'en düşük maliyetle gerçekleştirmek' ifadesi geçmektedir.
2
Besin içerik kısıtlarını oluştur.
Azot için 4x1+2x2≥804x_1 + 2x_2 \geq 80 ve fosfor için 3x1+5x2≥903x_1 + 5x_2 \geq 90 eşitsizlikleri elde edilir.
Her iki besin maddesi için de karşılanması gereken 'en az' değerler verilmiştir, bu durum ≥\geq (büyük eşit) sembolü gerektirir.
3
Kapasite (tonaj) kısıtını oluştur.
x1+x2≤25x_1 + x_2 \leq 25 eşitsizliği yazılır.
Hektar başına uygulanacak toplam miktarın 25 tonu 'aşmamalıdır' kısıtı bir üst sınır (≤\leq) belirtir.
4
Çevresel oran kısıtını ve varsayılan kısıtları modele ekle.
Oran kısıtı x1≤3x2x_1 \leq 3x_2 (veya x1−3x2≤0x_1 - 3x_2 \leq 0) olarak modellenir ve sonuna x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0 kısıtı eklenir.
Nitrat miktarının (x1x_1), fosfat miktarının (x2x_2) 3 katını aşmaması mantıksal olarak x1x_1'in 3x23x_2'den küçük veya eşit olması anlamına gelir. Üretim miktarları negatif olamayacağından pozitiflik koşulu şarttır.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama problemlerinde sözel ifadeleri (en az, en çok, katı, maliyet/kar) doğru matematiksel sembollerle modele dönüştürme
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Bu konudan daha fazla soru