Bir lojistik firması, araçların katedettiği toplam mesafe (X, bin km) ile yıllık bakım ona… — KPSS İstatistik

Bir lojistik firması, araçların katedettiği toplam mesafe ( $X$ , bin km) ile yıllık bakım onarım masrafları ( $Y$ , bin TL) arasındaki ilişkiyi $n = 10$ araçtan oluşan bir örneklem üzerinden basit doğrusal regresyon analizi ile incelemiştir. Yapılan analiz sonucunda aşağıdaki özet istatistiklere ulaşılmıştır:

- $\bar{X} = 60$
- $\sum (X_i - \bar{X})^2 = 40$
- Hata Kareler Toplamı ( $HKT$ ) = 40
- Tahmin edilen regresyon modeli: $\hat{Y} = 15 + 2X$

Buna göre, katedilen mesafenin $62$ bin km ( $X_0 = 62$ ) olduğu bir araç için bireysel (tekil) masraf tahmininin standart hatası ( $s_{pred}$ ) ve ortalama masraf kestiriminin standart hatası ( $s_{\hat{y}_0}$ ) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$\sqrt{6}$ ve $1$ Cevap
B
$1$ ve $\sqrt{6}$
C
$\sqrt{4,8}$ ve $\sqrt{0,8}$
D
$\sqrt{5}$ ve $1$
E
$\sqrt{12}$ ve $\sqrt{2}$

Cevap

Bireysel masraf tahmininin standart hatası

\sqrt{6}

, ortalama masraf kestiriminin standart hatası ise

1

'dir.

Verilen değerlerle hata varyansı

5

olarak hesaplanır.

X_0=62

noktası için formül uygulandığında ortalama değerin standart hatası

\sqrt{5 \times 0,2}=1

bulunurken, bireysel değer için bu hata

\sqrt{5 \times (1+0,2)}=\sqrt{6}

olarak bulunur. Bu durum, bireysel tahminlerin ortalama değer kestirimlerine göre daha yüksek belirsizlik taşıdığını gösterir.

Adım Adım Çözüm

Regresyonun standart hatasının (

s_e

) karesini (hata varyansı tahmini) hesaplayın.

s_e^2 = \frac{HKT}{n-2} = \frac{40}{10-2} = \frac{40}{8} = 5

Basit doğrusal regresyonda hata varyansı, Hata Kareler Toplamı'nın serbestlik derecesine (

n-2

) bölünmesiyle bulunur.

Kestirim/Tahmin noktası için standart hata çarpanını belirleyin.

\frac{1}{n} + \frac{(X_0 - \bar{X})^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{1}{10} + \frac{(62-60)^2}{40} = 0,1 + \frac{4}{40} = 0,1 + 0,1 = 0,2

Bu çarpan, belirli bir

X_0

noktasındaki tahminin örnekleme varyansını yansıtır.

Ortalama değer kestirimi için standart hatayı (

s_{\hat{y}_0}

) hesaplayın.

s_{\hat{y}_0} = \sqrt{s_e^2 \times 0,2} = \sqrt{5 \times 0,2} = \sqrt{1} = 1

Ortalama değerin kestirim hatası, regresyon doğrusunun o noktadaki konumunun belirsizliğini temsil eder.

Bireysel değer tahmini için standart hatayı (

s_{pred}

) hesaplayın.

s_{pred} = \sqrt{s_e^2 \times (1 + 0,2)} = \sqrt{5 \times 1,2} = \sqrt{6}

Bireysel değer tahmini, hem regresyon doğrusundaki belirsizliği hem de tekil birimin hata teriminden kaynaklanan kendi varyansını içerir; bu nedenle formüle '+1' eklenir.

Anahtar Kavram

Bireysel tahmin aralığı her zaman ortalama değer güven aralığından daha geniştir çünkü bireysel tahminde hem parametre kestirim hatası hem de tesadüfi hata teriminin varyansı toplanır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru