Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n, başarı olasılığı pp olan Bernoulli dağılımından alınan nn hacimli bir rastgele örneklem ve T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i olsun.

Buna göre, kitle varyansı olan p(1−p)p(1-p) parametresi için Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)}Cevap
  2. B
    T(n−T)n2\frac{T(n-T)}{n^2}
  3. C
    T(T−1)n(n−1)\frac{T(T-1)}{n(n-1)}
  4. D
    T2n2\frac{T^2}{n^2}
  5. E
    T(n−1)n2\frac{T(n-1)}{n^2}

Cevap

Bernoulli dağılımının varyansı p(1−p)p(1-p) parametresi için UMVUE T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} ifadesidir.
Doğru yanıt T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} ifadesidir. Lehmann-Scheffe teoremine göre, bir parametrenin UMVUE'sini bulmak için o parametrenin tam ve yeterli istatistiğe (TT) bağlı yansız bir tahmin edicisi bulunmalıdır. Örneklem varyansı S2S^2, kitle varyansının her zaman yansız tahmin edicisidir. Bernoulli denemelerinde gözlem değerleri 00 veya 11 olduğu için ∑Xi2=∑Xi=T\sum X_i^2 = \sum X_i = T özelliği kullanılarak S2S^2 formülü TT cinsinden T(n−T)n(n−1)\frac{T(n-T)}{n(n-1)} şeklinde yazılabilir.

Adım Adım Çözüm

1
T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin özelliklerini belirleme.
TT, Bernoulli dağılımı için yeterli (sufficient) ve tam (complete) bir istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini kullanabilmek için parametrenin tam ve yeterli bir istatistiğini bulmak gereklidir.
2
p(1−p)p(1-p) parametresinin anlamını tanımlama.
p(1−p)p(1-p) ifadesi Bernoulli dağılımının kitle varyansıdır (σ2\sigma^2).
Hangi özelliğin tahmin edileceğini matematiksel olarak netleştirmek için.
3
Kitle varyansı için bilinen genel yansız tahmin ediciyi (örneklem varyansı S2S^2) yazma.
S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 ifadesi kitle varyansı için her zaman yansızdır (E[S2]=σ2E[S^2] = \sigma^2).
UMVUE bulmak için tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olan yansız bir tahmin edici bulmamız gerekir.
4
S2S^2 formülünü Bernoulli örneklemi için TT cinsinden sadeleştirme.
Xi∈{0,1}X_i \in \{0, 1\} olduğundan Xi2=XiX_i^2 = X_i'dir. Dolayısıyla ∑Xi2=∑Xi=T\sum X_i^2 = \sum X_i = T olur. Formülü açarsak: ∑(Xi−Xˉ)2=∑Xi2−nXˉ2=T−n(Tn)2=T−T2n=nT−T2n\sum (X_i - \bar{X})^2 = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 = T - n(\frac{T}{n})^2 = T - \frac{T^2}{n} = \frac{nT - T^2}{n} bulunur.
Tahmin ediciyi sadece tam ve yeterli istatistik (TT) cinsinden yazabilmek için.
5
Sonucu Lehmann-Scheffe teoremine göre yorumlama.
S2=1n−1(nT−T2n)=T(n−T)n(n−1)S^2 = \frac{1}{n-1} \left( \frac{nT - T^2}{n} \right) = \frac{T(n-T)}{n(n-1)} bulunur. Bu ifade TT'nin bir fonksiyonudur ve yansızdır.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, tam ve yeterli istatistiğin fonksiyonu olan yansız tahmin edici, benzersiz UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi, Tam ve Yeterli İstatistikler, Yansızlık
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru