Examkin

Soru

Zorluk: ZorRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir orman ekosistemi araştırmasında, belirli bir ağaç türünün kök gelişim endeksi (XX) ile aynı dönemdeki gövde su tutma kapasitesi (YY) arasındaki ilişki modellenmektedir. Yapılan istatistiksel analizler sonucunda, bu iki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x,y)={34,−1<x<1 ve x2<y<10,dig˘er durumlarda f(x,y) = \begin{cases} \frac{3}{4}, & -1 < x < 1 \text{ ve } x^2 < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

olarak belirlenmiştir.

Bu olasılık modeline göre, XX ve YY rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ve aralarındaki ilişki durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Değişkenlerin kovaryansı sıfır olmasına rağmen, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi dikdörtgensel bir bölge oluşturmadığı için XX ve YY bağımlı değişkenlerdir.Cevap
  2. B
    Kovaryans değeri sıfır olarak hesaplandığından dolayı, XX ve YY aralarında hiçbir ilişki bulunmayan istatistiksel olarak tam bağımsız değişkenlerdir.
  3. C
    XX ve YY'nin bağımsız olabilmesi için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının toplamının ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna eşit olması gerekir, bu sağlanmadığı için değişkenler bağımlıdır.
  4. D
    Değişkenler bağımlı olduğu için beklenen değerin özellikleri gereği E[XY]≠E[X]E[Y]E[XY] \neq E[X]E[Y] eşitsizliği kesinlikle geçerlidir ve kovaryans sıfırdan farklıdır.
  5. E
    XX değişkeninin negatif ve pozitif değerleri de kapsayan aralığı, XX ve YY değişkenlerinin örnek uzayda ayrık olaylar oluşturduğunu ve dolayısıyla bağımsız olduklarını gösterir.

Cevap

Değişkenlerin kovaryansı sıfır olmasına rağmen destek kümesi dikdörtgensel olmadığı için bağımlıdırlar.
Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesi (support) sınırları incelendiğinde, yy'nin alt sınırının xx'e bağlı (x2<yx^2 < y) olduğu görülmektedir. Destek kümesinin dikdörtgensel (kartezyen çarpım şeklinde) olmaması, bu değişkenlerin istatistiksel olarak birbirine bağımlı olduğunu doğrudan kanıtlar. Aynı zamanda E[X]=0E[X]=0 ve E[XY]=0E[XY]=0 hesaplanabildiği için kovaryansları sıfırdır. Bu durum, 'sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli olmadığı' teorik kuralının geçerliliğini göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
XX rastgele değişkeninin beklenen değeri E[X]E[X]'in hesaplanması.
E[X]=∫−11∫x21x34dydx=∫−1134x(1−x2)dx=0E[X] = \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 x \frac{3}{4} dy dx = \int_{-1}^1 \frac{3}{4} x (1-x^2) dx = 0
Kovaryansı bulmak için öncelikle marjinal beklenen değerlere ihtiyaç vardır. Fonksiyon simetrik bir aralıkta tek fonksiyon olduğundan integral doğrudan sıfır sonucunu verir.
2
XX ve YY'nin çarpımının beklenen değeri E[XY]E[XY]'nin hesaplanması.
E[XY]=∫−11∫x21xy34dydx=∫−1138x(1−x4)dx=0E[XY] = \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 xy \frac{3}{4} dy dx = \int_{-1}^1 \frac{3}{8} x (1-x^4) dx = 0
Kovaryansın diğer bileşeni olan E[XY]E[XY] hesaplanır. x(1−x4)x(1-x^4) ifadesi tek fonksiyon olduğu için [−1,1][-1, 1] aralığında integral yine sıfırdır.
3
Kovaryansın hesaplanması.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=0−0⋅E[Y]=0Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 \cdot E[Y] = 0
Hesaplanan beklenen değerler formülde yerine konularak kovaryansın sıfır olduğu teyit edilir.
4
Destek kümesi (support) sınırlarının incelenerek bağımsızlığın kontrol edilmesi.
Destek kümesi sınırları −1<x<1-1 < x < 1 ve x2<y<1x^2 < y < 1 şeklindedir. yy'nin alt sınırının xx'e bağlı olması, bölgenin dikdörtgensel olmadığını gösterir.
Eğer iki değişkenin ortak tanımlı olduğu bölge (destek kümesi) bir kartezyen çarpım (dikdörtgen) oluşturmuyorsa, o iki değişken kesinlikle bağımlıdır. Çarpımsal ayrılabilirlik şartı baştan ihlal edilmiştir.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlık İçin Yeterli Olmaması ve Destek Kümesi Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı