Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir limandaki gemi yükleme-boşaltma tesisinde, sisteme gemi varış hızı ve gemilere verilen hizmet hızı, sistemdeki gemi sayısına (nn) bağlı olarak değişen bir doğum-ölüm süreci (birth-death process) ile modellenmiştir.

Maksimum kapasitenin 3 gemi olduğu (sistemde 3 gemi varken yeni gemilerin başka limana yönlendirildiği) bu sistemde hızlar aşağıdaki gibidir:
- Sisteme gemi varış hızı: λn=(3−n)λ\lambda_n = (3 - n)\lambda , (n=0,1,2n = 0, 1, 2) ve λn=0\lambda_n = 0 (n≥3n \ge 3)
- Gemilere hizmet verilme hızı: μn=nμ\mu_n = n\mu , (n=1,2,3n = 1, 2, 3)

Sistemin denge (steady-state) durumunda olduğu bilindiğine göre, sistemdeki beklenen gemi sayısı (LL) ile sistemin tamamen boş olma olasılığı (P0P_0) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? (ρ=λμ\rho = \frac{\lambda}{\mu})

  1. A
    L=ρ+2ρ2+3ρ31+ρ+ρ2+ρ3,P0=11+ρ+ρ2+ρ3L = \frac{\rho + 2\rho^2 + 3\rho^3}{1+\rho+\rho^2+\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1+\rho+\rho^2+\rho^3}
  2. B
    L=3ρ+12ρ2+18ρ31+3ρ+6ρ2+6ρ3,P0=11+3ρ+6ρ2+6ρ3L = \frac{3\rho + 12\rho^2 + 18\rho^3}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + 3\rho + 6\rho^2 + 6\rho^3}
  3. L=3ρ1+ρ,P0=1(1+ρ)3L = \frac{3\rho}{1+\rho} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3}Cevap
  4. D
    L=3ρ,P0=(1−ρ)3L = 3\rho \quad , \quad P_0 = (1-\rho)^3
  5. E
    L=ρ+ρ2+ρ321+ρ+ρ22+ρ36,P0=11+ρ+ρ22+ρ36L = \frac{\rho + \rho^2 + \frac{\rho^3}{2}}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}} \quad , \quad P_0 = \frac{1}{1 + \rho + \frac{\rho^2}{2} + \frac{\rho^3}{6}}

Cevap

Sistemdeki beklenen gemi sayısının L=3ρ1+ρL = \frac{3\rho}{1+\rho} ve boş olma olasılığının P0=1(1+ρ)3P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3} olduğu seçenek doğru cevaptır.
Denge durumunda doğum-ölüm süreçleri için geçiş denklemi Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} formülü ile çözülür. Parametreler yerine konduğunda P1=3ρP0P_1 = 3\rho P_0, P2=3ρ2P0P_2 = 3\rho^2 P_0 ve P3=ρ3P0P_3 = \rho^3 P_0 olasılıkları elde edilir. Toplam olasılığın 1 olması kuralından, parantez içi ifadenin (1+ρ)3(1+\rho)^3 Binom açılımına denk olduğu görülür ve P0=1(1+ρ)3P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3} bulunur. Sistemdeki ortalama uzunluk olan L=∑nPnL = \sum n P_n hesabı yapıldığında ve P0P_0 ile çarpıldığında sonuç sadeleşerek 3ρ1+ρ\frac{3\rho}{1+\rho} bağıntısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreçleri için genel denge (steady-state) denklemlerini her bir duruma (n) uygulayın.
Pn=λn−1μnPn−1P_n = \frac{\lambda_{n-1}}{\mu_n} P_{n-1} ilişkisi kullanılarak olasılıklar P0P_0 cinsinden yazılır.
Sistem sürekli denge halinde olduğu için, her durumdan çıkış hızı o duruma giriş hızına eşit olmalıdır.
2
Verilen varış (λn\lambda_n) ve hizmet (μn\mu_n) hızlarını kullanarak P1,P2P_1, P_2 ve P3P_3 olasılıklarını P0P_0 cinsinden türetin.
P1=3λμP0=3ρP0P_1 = \frac{3\lambda}{\mu}P_0 = 3\rho P_0, P2=2λ2μP1=3ρ2P0P_2 = \frac{2\lambda}{2\mu}P_1 = 3\rho^2 P_0, P3=λ3μP2=ρ3P0P_3 = \frac{\lambda}{3\mu}P_2 = \rho^3 P_0
Sistem durum olasılıklarının bağıl değerlerini belirlemek için duruma özgü katsayılar sisteme entegre edilir.
3
Toplam olasılığın 1'e eşit olması (Normalizasyon) kuralını uygulayarak P0P_0'ı bulun.
∑n=03Pn=P0(1+3ρ+3ρ2+ρ3)=1\sum_{n=0}^{3} P_n = P_0 (1 + 3\rho + 3\rho^2 + \rho^3) = 1. Binom açılımından (1+ρ)3P0=1  ⟹  P0=1(1+ρ)3(1+\rho)^3 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{(1+\rho)^3} elde edilir.
Sistemin mutlaka bu dört durumdan (0, 1, 2, 3) birinde bulunması gerektiği için durum olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
4
Beklenen gemi sayısı formülünü (L=∑n=03nPnL = \sum_{n=0}^{3} n P_n) uygulayın ve denklemi sadeleştirin.
L=1(3ρP0)+2(3ρ2P0)+3(ρ3P0)=3ρ(1+2ρ+ρ2)P0L = 1(3\rho P_0) + 2(3\rho^2 P_0) + 3(\rho^3 P_0) = 3\rho (1 + 2\rho + \rho^2) P_0. Bu denklem 3ρ(1+ρ)2P03\rho (1+\rho)^2 P_0 olarak yazılır. P0P_0'ı yerine koyarsak: L=3ρ(1+ρ)2(1+ρ)3=3ρ1+ρL = \frac{3\rho (1+\rho)^2}{(1+\rho)^3} = \frac{3\rho}{1+\rho}
Sistemdeki ortalama birim sayısını bulmak için her durumun birim sayısıyla o durumda bulunma olasılığı ağırlıklandırılarak toplanır.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru