Examkin

Soru

Zorluk: ZorEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bir kamu kurumunda vergi gelirleri ve kamu harcamaları bağımsız değişkenler, bütçe açığı ise bağımlı değişken olarak ele alınarak n=35n = 35 gözlemden oluşan bir veri setiyle sabit terimli çoklu doğrusal regresyon modeli (Y=Xβ+εY = X\beta + \varepsilon) tahmin edilmektedir. Analiz sonucunda elde edilen (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisi aşağıdaki gibidir:

(X′X)−1=[0.50−0.100.05−0.100.20−0.020.05−0.020.30](X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0.50 & -0.10 & 0.05 \\ -0.10 & 0.20 & -0.02 \\ 0.05 & -0.02 & 0.30 \end{bmatrix}

Bu modelin En Küçük Kareler (EKK) matris çözümleri ve tahmin edicilerin özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Parametre katsayı vektörü (β^\hat{\beta}), matris çarpımında boyut uyumluluğu gereği β^=X′Y(X′X)−1\hat{\beta} = X'Y(X'X)^{-1} formülü kullanılarak hesaplanır.
  2. B
    Modelin hata varyansının (σ^2\hat{\sigma}^2) sapmasız tahmincisi hesaplanırken, hata kareler toplamı (HKT) n−2=33n-2 = 33 serbestlik derecesine bölünür.
  3. Katsayı tahmin edicilerinin varyanslarının hesaplanmasında, (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisinin asal köşegeninde yer alan 0.50, 0.20 ve 0.30 değerleri hata varyansı (σ^2\hat{\sigma}^2) ile çarpılır.Cevap
  4. D
    Modele dahil edilen bağımsız değişkenler arasında yüksek bir çoklu doğrusal bağlantı bulunması durumunda, EKK katsayı tahmin edicileri sapmalı hale gelir.
  5. E
    Gauss-Markov teoremine göre, EKK tahmin edicileri sapmasız oldukları için modelin varyans varsayımlarından bağımsız olarak daima en küçük varyansa sahiptirler.

Cevap

Doğru ifade, (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisinin asal köşegen elemanlarının hata varyansı ile çarpılarak katsayı varyanslarının hesaplanmasını belirten seçenektir.
Çoklu doğrusal regresyon analizinde katsayı tahmin edicileri vektörünün (β^\hat{\beta}) varyans-kovaryans matrisi Var(β^)=σ^2(X′X)−1Var(\hat{\beta}) = \hat{\sigma}^2(X'X)^{-1} eşitliğiyle ifade edilir. (X′X)−1(X'X)^{-1} matrisinin asal köşegeninde bulunan elemanlar, modelin hata varyansı (σ^2\hat{\sigma}^2) ile çarpıldığında sırasıyla β^0,β^1\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1 ve β^2\hat{\beta}_2 parametre tahmin edicilerinin teorik varyanslarını vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Matris formüllerindeki boyut ve işlem sırasını değerlendirmek
β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y formülü doğrudur. Çarpım sırasının X′Y(X′X)−1X'Y(X'X)^{-1} olarak verilmesi matris boyutlarıyla (sütun vektörü x kare matris) çelişir.
EKK katsayılarının elde edilişindeki teorik altyapıyı doğrulamak.
2
Hata varyansının serbestlik derecesini hesaplamak
Modelde k=2k=2 bağımsız değişken ve 1 sabit terim vardır. Serbestlik derecesi n−k−1=35−2−1=32n - k - 1 = 35 - 2 - 1 = 32 olmalıdır. n−2n-2 basit doğrusal regresyon içindir.
σ^2=HKT/(n−k−1)\hat{\sigma}^2 = HKT / (n-k-1) formülünün doğru kullanımını test etmek.
3
EKK varsayımları ve ihlallerinin etkilerini analiz etmek
Çoklu bağlantı sapmaya neden olmaz, varyansı artırır. Ayrıca Gauss-Markov teoreminde etkinlik (minimum varyans) için değişen varyans ve otokorelasyon olmaması şarttır; sapmasızlık tek başına yeterli değildir.
Kavramsal özellikleri (BLUE) ve çoklu bağlantının EKK üzerindeki etkisini ayrıştırmak.
4
Varyans-Kovaryans matrisinin elemanlarını yorumlamak
Var(β^)=σ^2(X′X)−1Var(\hat{\beta}) = \hat{\sigma}^2 (X'X)^{-1} matrisinin köşegen elemanları (0.50, 0.20, 0.30) sırasıyla katsayı varyanslarının hesaplanması için σ^2\hat{\sigma}^2 ile çarpılacak olan ana unsurlardır.
Soruda verilen spesifik matrisin EKK özelliklerindeki yerini ve kullanımını kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

EKK Tahmin Edicilerinin Matris Gösterimi ve Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru