Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı, önemli bir otoyol köprüsündeki günlük trafik akış durumunu bir Markov zinciri ile modellemektedir. Köprünün trafik durumu üç sınıfa ayrılmıştır: 1 (Akıcı), 2 (Yoğun) ve 3 (Tıkalı).

Günlük geçiş olasılık matrisi PP aşağıdaki gibi belirlenmiştir:
P=[0.70.20.10.30.60.10.20.40.4]P = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.6 & 0.1 \\ 0.2 & 0.4 & 0.4 \end{bmatrix}

Buna göre, bu köprünün uzun dönemde (kararlı durumda) 'Tıkalı' (durum 3) olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    16\frac{1}{6}
  2. B
    15\frac{1}{5}
  3. 17\frac{1}{7}Cevap
  4. D
    821\frac{8}{21}
  5. E
    1021\frac{10}{21}

Cevap

Köprünün uzun dönemde 'Tıkalı' (durum 3) olma olasılığı 17\frac{1}{7} değeridir.
Kararlı durum (sınır) olasılıkları πP=π\pi P = \pi ve π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 denklemleri birlikte çözülerek bulunur. 3. duruma ait matris denklemi π3=0.1π1+0.1π2+0.4π3\pi_3 = 0.1\pi_1 + 0.1\pi_2 + 0.4\pi_3 şeklindedir. Bu eşitlik düzenlendiğinde 0.6π3=0.1(π1+π2)0.6\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2) ve buradan da 6π3=π1+π26\pi_3 = \pi_1 + \pi_2 elde edilir. Toplam olasılık kuralı gereği π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 olmalıdır. Bulunan 6π36\pi_3 değeri bu denklemde yerine konulduğunda 7π3=17\pi_3 = 1 ve dolayısıyla π3=17\pi_3 = \frac{1}{7} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum olasılıkları için πP=π\pi P = \pi ve π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 denklem sistemini kurun.
Matris çarpımından π3=0.1π1+0.1π2+0.4π3\pi_3 = 0.1\pi_1 + 0.1\pi_2 + 0.4\pi_3 eşitliği elde edilir.
Sınır olasılıkları, geçiş matrisi ile çarpıldığında değişmeyen kararlı durum vektörünü temsil eder.
2
Elde edilen 3. durum denklemini sadeleştirerek π1\pi_1 ve π2\pi_2 cinsinden ifade edin.
π3−0.4π3=0.1(π1+π2)⇒0.6π3=0.1(π1+π2)⇒6π3=π1+π2\pi_3 - 0.4\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2) \Rightarrow 0.6\pi_3 = 0.1(\pi_1 + \pi_2) \Rightarrow 6\pi_3 = \pi_1 + \pi_2 bulunur.
Normalizasyon denklemini tek bilinmeyenli hale getirmek için değişkenler arasında oransal ilişki kurulmalıdır.
3
Bulunan eşitliği π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 normalizasyon kuralında yerine yazın.
6π3+π3=1⇒7π3=1⇒π3=176\pi_3 + \pi_3 = 1 \Rightarrow 7\pi_3 = 1 \Rightarrow \pi_3 = \frac{1}{7} olarak hesaplanır.
Sistemin herhangi bir anda mutlaka bu üç durumdan birinde bulunması gerektiği için olasılıklar toplamı 1'e eşittir.

Anahtar Kavram

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıklarının Hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları