Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişen Varyans Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri
Bir araştırmacı, yatay kesit verileri kullanarak
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i
modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Araştırmacı, hata terimlerinin varyansının sabit olup olmadığını (eş varyanslılık varsayımını) sınamak amacıyla EKK kalıntılarının karesini (ei2e_i^2); modeldeki bağımsız değişkenler, bu değişkenlerin kareleri ve çapraz çarpımları üzerine regrese etmiştir. Elde edilen yardımcı regresyon modelinin nR2nR^2 istatistiğini hesaplamış ve bu değerin 55 serbestlik dereceli Ki-kare (χ52\chi^2_5) kritik değerinden büyük olduğunu görerek modelde değişen varyans sorunu olduğuna karar vermiştir.

Daha sonra yapılan analitik incelemelerde, hata terimlerinin gerçek varyansının X1iX_{1i} değişkeninin karesiyle orantılı olduğu, yani Var(ui)=σ2X1i2Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2 biçiminde bir yapı sergilediği tespit edilmiştir.

Buna göre, araştırmacının değişen varyansı tespit etmek için kullandığı testin adı ve bu sorunu gidererek tahmincilerin yeniden minimum varyanslı (etkin) olmasını sağlamak için uygulanması gereken analitik işlem aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. Test White Testidir; sorunu gidermek için orijinal modeldeki tüm terimler X1iX_{1i} değişkenine bölünmeli ve dönüştürülmüş model EKK ile tahmin edilmelidir.Cevap
  2. B
    Test Breusch-Pagan Testidir; sorunu gidermek için orijinal modeldeki tüm terimler X1i\sqrt{X_{1i}} değişkenine bölünmeli ve dönüştürülmüş model kullanılmalıdır.
  3. C
    Test Ramsey RESET Testidir; sorunu gidermek için orijinal modelin her iki tarafındaki tüm terimler X1i2X_{1i}^2 değişkenine bölünmelidir.
  4. D
    Test White Testidir; EKK tahmincileri değişen varyans altında da etkin (minimum varyanslı) kalmaya devam edeceği için herhangi bir matematiksel dönüşüme gerek yoktur.
  5. E
    Test Goldfeld-Quandt Testidir; sorunu gidermek için orijinal modeldeki bağımlı ve bağımsız değişkenlerin doğal logaritması alınarak tahmin yenilenmelidir.

Cevap

Testin White Testi olduğu ve dönüşüm için modeldeki tüm terimlerin X_1i değişkenine bölünmesi gerektiği seçenektir.
Soruda tanımlanan kalıntı karelerinin; bağımsız değişkenlerin kendileri, kareleri ve çapraz çarpımlarıyla açıklandığı yardımcı regresyon prosedürü White genel değişen varyans testinin tanımıdır (burada 2 değişken için 5 adet eğim katsayısı olduğundan χ2\chi^2 istatistiğinin serbestlik derecesi 5'tir). İkinci aşamada, tespit edilen Var(ui)=σ2X1i2Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2 yapısındaki değişen varyansı gidermek için Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yaklaşımı uygulanmalıdır. Sabit varyans elde etmek amacıyla modelin hata teriminin varyansının kareköküne bölünmesi gerekir. Bu nedenle orijinal modelin her iki tarafındaki tüm terimlerin X1iX_{1i} değerine bölünmesi, dönüştürülmüş modeldeki hata teriminin varyansını sabit (σ2\sigma^2) hale getirecek ve EKK tahmincilerini yeniden BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız Tahminci) yapacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı regresyon modelinin yapısını inceleyerek kullanılan testi belirleme.
Araştırmacı ei2e_i^2 değerini X1i,X2i,X1i2,X2i2X_{1i}, X_{2i}, X_{1i}^2, X_{2i}^2 ve X1iX2iX_{1i}X_{2i} üzerine regrese etmiştir. Bu prosedür White genel değişen varyans testinin temelini oluşturur.
White testi, değişen varyansın formuna dair önsel bir bilgi gerektirmeyen ve bağımsız değişkenlerin kareleri ile çapraz çarpımlarını kullanarak doğrusal olmayan değişen varyans türlerini de tespit edebilen genel bir testtir.
2
Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yöntemi için gereken dönüştürme faktörünü (ağırlığı) hesaplama.
Hata teriminin varyansı Var(ui)=σ2X1i2Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2 olarak verilmiştir. Varyansı sabit (homoskedastik) hale getirmek için hata teriminin varyansının kareköküyle (standart sapmayla) orantılı bir değere bölünmesi gerekir. X1i2=X1i\sqrt{X_{1i}^2} = X_{1i} olduğu için ağırlık faktörü X1iX_{1i}'dir.
Eğer orijinal hata terimi uiu_i, X1iX_{1i} değerine bölünürse yeni hata terimi ui∗=ui/X1iu_i^* = u_i / X_{1i} olur. Bu yeni hata teriminin varyansı: Var(ui/X1i)=(1/X1i2)Var(ui)=(1/X1i2)σ2X1i2=σ2Var(u_i / X_{1i}) = (1 / X_{1i}^2) Var(u_i) = (1 / X_{1i}^2) \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2 olur ve varyans sabitlenerek Gauss-Markov etkinliği yeniden sağlanır.
3
Dönüşümün modelin tamamına uygulanması.
Orijinal modelin her iki tarafındaki tüm değişkenler (bağımlı değişken ve sabit terim dahil) X1iX_{1i}'ye bölünerek yeni model EKK ile tahmin edilir.
Eşitliğin bozulmaması ve katsayıların doğru yorumlanabilmesi için matematiksel dönüşüm modeldeki bütün terimlere aynı anda uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

White Değişen Varyans Testi ve Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) Dönüşümü

Alternatif Yöntem

Varyansın sabitlenip sabitlenmediği matematiksel beklenti operatörü kullanılarak da kanıtlanabilir: Var(ui∗)=E[(ui/X1i)2]=(1/X1i2)E[ui2]=(1/X1i2)σ2X1i2=σ2Var(u_i^*) = E[(u_i / X_{1i})^2] = (1/X_{1i}^2) E[u_i^2] = (1/X_{1i}^2) \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişen Varyans Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri