Temel Bileşenler Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 6

Soru 101Soru →

Bir istatistiksel çalışma kapsamında, iki değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Elde edilen birinci temel bileşen $Y_1 = 0,8 X_1 + 0,6 X_2$ doğrusal kombinasyonu ile ifade edilmektedir. Analize temel oluşturan varyans-kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 25$ olduğuna göre, bu birinci temel bileşenin varyansı [ $Var(Y_1)$ ] aşağıdakilerden hangisidir?

1

15

20

25

625

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $25$

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı

25

değerine eşittir.

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA), her bir temel bileşen orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak elde edilir. Bu bileşenlerin en önemli özelliği, varyanslarının ilgili varyans-kovaryans matrisinin özdeğerlerine (

\lambda_j

) eşit olmasıdır. Soruda katsayılar vektörü normalize olan (

0,8^2 + 0,6^2 = 1

) birinci temel bileşen için en büyük özdeğerin

25

olduğu belirtilmiştir. Dolayısıyla,

Var(Y_1) = \lambda_1 = 25

eşitliği gereği doğru cevap

25

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Temel bileşen varyansı ile özdeğer arasındaki teorik ilişki belirlenir.

Var(Y_j) = \lambda_j

Temel Bileşenler Analizi teorisine göre, katsayılar vektörü normalize edilmiş (birim uzunlukta) olan bir temel bileşenin varyansı, o bileşene karşılık gelen özdeğere eşittir.

2

Soruda verilen birinci temel bileşen için en büyük özdeğer değeri işleme alınır.

Var(Y_1) = 25

Varyans-kovaryans matrisinin en büyük özdeğeri

\lambda_1 = 25

olarak verildiğinden, bu değer doğrudan birinci temel bileşenin varyansını ifade eder.

Anahtar Kavram

Temel bileşen varyansının ilgili özdeğere eşitliği (

Var(Y_j) = \lambda_j

)

Alternatif Yöntem

Varyans tanımından gidilerek

Var(0,8 X_1 + 0,6 X_2) = [0,8 \quad 0,6] \Sigma [0,8 \quad 0,6]^T

işlemi yapılabilir.

\Sigma \mathbf{a}_1 = \lambda_1 \mathbf{a}_1

özdeğer denklemi yerine yazıldığında sonuç

\lambda_1 (0,8^2 + 0,6^2) = \lambda_1 \times 1 = 25

olarak teyit edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 102Soru →

Bir araştırmacı, $3$ değişkenli bir veri setine korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda elde edilen özdeğerler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bileşen	Özdeğer ( $\lambda$ )
1. Bileşen	$1,80$
2. Bileşen	$0,90$
3. Bileşen	$0,30$

Buna göre, birinci temel bileşenin toplam varyansı tek başına açıklama oranı yüzde kaçtır?

60

18

90

30

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $60$

Cevap

Birinci temel bileşenin toplam varyansı açıklama oranı

\%60

olarak hesaplanır.

Toplam varyans, elde edilen tüm özdeğerlerin toplamıdır (

1,80 + 0,90 + 0,30 = 3,00

). Birinci bileşenin açıkladığı varyans oranı, birinci özdeğerin bu toplama bölünmesiyle hesaplanır:

1,80 / 3,00 = 0,60

. Bu değer yüzde olarak ifade edildiğinde

\%60

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam varyansın (iz) hesaplanması

1,80 + 0,90 + 0,30 = 3,00

Korelasyon matrisi üzerinden yapılan TBA'da toplam varyans, özdeğerlerin toplamına (veya değişken sayısına) eşittir.

2

Birinci temel bileşenin oranının belirlenmesi

\frac{1,80}{3,00} = 0,60

Belirli bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşene ait özdeğerin toplam varyansa bölünmesiyle bulunur.

3

Sonucun yüzdeye çevrilmesi

0,60 \times 100 = \%60

İstatistiksel raporlarda oranlar genellikle yüzdelik dilimler halinde ifade edilir.

Anahtar Kavram

Özdeğerlerin toplam varyansı açıklama oranının hesaplanması

Tahmini Süre:45s

Soru 103Soru →

Bir araştırmada incelenen iki değişken için yapılan Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, birinci temel bileşene ait özdeğer $\lambda_1 = 1,64$ ve bu bileşene karşılık gelen özvektör $a_1 = [0,80 \quad 0,60]^T$ olarak hesaplanmıştır. Standartlaştırılmış veri setinde değerleri $z_1 = 2$ ve $z_2 = 1$ olan bir gözlem birimi için hesaplanacak birinci temel bileşen skoru kaçtır?

2,20

2,00

1,64

3,00

1,40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2,20

Cevap

Birinci temel bileşen skoru 2,20 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan değer, birinci temel bileşen için verilen özvektör katsayılarının (

0,80

ve

0,60

), ilgili gözlemin standartlaştırılmış değerleri (

2

ve

1

) ile çarpılıp toplanması sonucu elde edilir. Bu işlem temel bileşen skorunun tanımı olan doğrusal kombinasyon kuralına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Temel bileşen skor formülünü belirleme

Y_1 = a_{11}z_1 + a_{12}z_2

Temel bileşen skoru, değişkenlerin standartlaştırılmış değerlerinin ilgili özvektör katsayıları ile ağırlıklı toplamıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyma

Y_1 = (0,80 \times 2) + (0,60 \times 1)

Özvektör

a_1

katsayıları ve

z

gözlem vektörü değerleri kullanılarak doğrusal kombinasyon oluşturulur.

3

Hesaplamayı tamamlama

Y_1 = 1,60 + 0,60 = 2,20

Matematiksel çarpma ve toplama işlemleri sonucunda nihai skora ulaşılır.

Anahtar Kavram

Temel bileşen skoru, gözlem vektörünün ilgili özvektör üzerine izdüşümü olup

Y = a^T z

formülüyle hesaplanır.

Daha Fazla Pratik

Bileşen skorlarının ortalamasının neden sıfır olduğunu ve varyansının neden ilgili özdeğere eşit olduğunu kanıtlamaya çalışınız.

Tahmini Süre:45s

Soru 104Soru →

Temel Bileşenler Analizi (TBA), $p$ boyutlu bir veri uzayındaki varyasyonu birbirine dik (ortogonal) yeni eksenlere taşıyarak boyutsal indirgeme sağlayan istatistiksel bir tekniktir.

Bu analizin geometrik yorumu ve kullanılan dönüşüm matrisinin diklik özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Orijinal veri setindeki değişkenler arasında çok yüksek düzeyde korelasyon bulunması, temel bileşenleri temsil eden asal eksenler arasındaki açının daralarak eğik (oblik) bir yapı oluşturmasına neden olur.

Geometrik olarak birbirine dik (ortogonal) olarak elde edilen temel bileşen eksenleri, değişkenler arasındaki ortak varyansı (communality) maksimize eden ve ölçüm hatasından arındırılmış gizil faktör uzayını oluşturur.

Varyans-kovaryans matrisinin simetrik yapısından dolayı özvektörleri birbirine diktir; bu özvektörlerden oluşan ortogonal dönüşüm matrisi, veri noktaları arasındaki Öklid uzaklıklarını koruyarak orijinal koordinat eksenlerinin uzayda döndürülmesini (rotasyonunu) sağlar.

Veri yapısını temsil eden hiper-elipsoidin asal eksenleri boyunca hesaplanan varyans değerleri, daima karşılık gelen özdeğerin analize dahil edilen toplam değişken sayısına bölümü ile elde edilir.

Dönüşüm matrisinin ortogonalitesi gereği, yeni temel bileşenlerin varyanslarının çarpımı (

|S|

), orijinal veri matrisinin varyanslarının toplamına (

tr(S)

) daima eşit olmak zorundadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyans-kovaryans matrisinin simetrik yapısından dolayı özvektörleri birbirine diktir; bu özvektörlerden oluşan ortogonal dönüşüm matrisi, veri noktaları arasındaki Öklid uzaklıklarını koruyarak orijinal koordinat eksenlerinin uzayda döndürülmesini (rotasyonunu) sağlar.

Cevap

Doğru ifade, varyans-kovaryans matrisinin simetrik yapısı gereği özvektörlerinin birbirine dik olduğu ve ortogonal dönüşüm matrisinin, veri noktaları arasındaki Öklid uzaklıklarını koruyarak eksenleri döndürdüğünü belirten seçenektir.

Temel Bileşenler Analizinde dönüşüm matrisini oluşturan vektörler, simetrik olan varyans-kovaryans matrisinin özvektörleridir. Simetrik matrislerin özvektörleri daima birbirine tam diktir. Ortogonal bir matris ile yapılan doğrusal dönüşümler (

P^T P = I

), noktalar arasındaki Öklid uzaklıklarını ve genel geometrik şekli bozmaz; sadece koordinat sistemini döndürerek yeni, ilişkisiz ve varyansı maksimize eden eksenler yaratır.

Adım Adım Çözüm

1

TBA'nın dayandığı matris cebiri temelini ve dönüşüm matrisinin özelliklerini analiz et.

TBA, varyans-kovaryans (

S

) veya korelasyon (

R

) matrisinin özdeğer ve özvektör ayrışımına dayanır. Bu matrisler yapısal olarak simetriktir.

Dönüşüm matrisinin geometrik özelliklerini anlamak için matrisin cebirsel kökeni bilinmelidir.

2

Simetrik matrislerin özvektörlerinin geometrik karşılığını değerlendir.

Spektral teorem uyarınca, gerçek simetrik matrislerin özvektörleri birbirine ortogonaldir (diktir).

Temel bileşenlerin birbirine 90 derece dik olma garantisi doğrudan bu teoremden kaynaklanır.

3

Ortogonal dönüşümün (

y = P^T x

) veri üzerindeki geometrik etkisini incele.

Ortogonal matrislerle yapılan lineer dönüşümler (boyutsal dönüşüm matrisi

P

için

P^T P = I

), vektörlerin boyunu ve aralarındaki açıları (Öklid uzaklıklarını) değiştirmez, yalnızca koordinat sistemini orijin etrafında döndürür (rotasyon).

TBA'nın geometrik olarak bir rotasyon işlemi olduğunu ve veri yapısını distorsiyona uğratmadığını kanıtlamak için gereklidir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Ortogonal Dönüşüm ve Eksen Rotasyonu

Soru 105Soru →

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde boyut indirgeme amacıyla kullanılan Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) teorik altyapısı ve varsayımları değerlendirildiğinde, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Orijinal değişkenler arasındaki korelasyonların istatistiksel olarak anlamsız olması (evren korelasyon matrisinin birim matrise yakınsaması), yöntemin veri setini daha az boyutta özetleme kapasitesini ortadan kaldırır.

Analizin geçerli olabilmesi için, gözlenen değişkenlerdeki toplam varyansın ortak varyans (communality) ve hata varyansı (specific variance) olarak doğrusal iki bileşene ayrıştırılabilmesi varsayılır.

Ölçüm birimleri birbirinden farklı olan değişkenler içeren veri setlerinde, varyansı yüksek olan değişkenlerin modele yapacağı katkıyı korumak amacıyla analizin daima kovaryans matrisi üzerinden yürütülmesi gerekir.

Veri matrisinin analize uygunluğunu denetleyen Bartlett Küresellik Testi sonucunda elde edilen

p

değerinin anlamlılık düzeyinden (

p > \alpha

) büyük çıkması, veri yapısının analize uygun olduğunu kanıtlar.

Türetilen temel bileşenlerin önem derecesini gösteren özdeğerlerin (eigenvalue) toplamı, analizin açıkladığı kümülatif varyans oranına doğrudan eşittir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Orijinal değişkenler arasındaki korelasyonların istatistiksel olarak anlamsız olması (evren korelasyon matrisinin birim matrise yakınsaması), yöntemin veri setini daha az boyutta özetleme kapasitesini ortadan kaldırır.

Cevap

Orijinal değişkenler arasındaki korelasyonların istatistiksel olarak anlamsız olması (evren korelasyon matrisinin birim matrise yakınsaması), yöntemin veri setini daha az boyutta özetleme kapasitesini ortadan kaldırır.

Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) başarılı bir şekilde boyut indirgeyebilmesi için orijinal değişkenler arasında belirli düzeyde bir ilişki (korelasyon) bulunması zorunludur. Eğer değişkenler tamamen ilişkisizse, evren korelasyon matrisi köşegenleri

1

, diğer tüm elemanları

0

olan bir birim matrise eşdeğer olur. Bu senaryoda her bir orijinal değişken zaten birbirinden bağımsızdır ve her bir temel bileşenin özdeğeri

1

olacaktır. Dolayısıyla, az sayıda bileşenle toplam varyansın büyük bir kısmını açıklamak matematiksel olarak imkansızlaşır ve analizin temel işlevi olan 'boyut indirgeme' ortadan kalkar.

Adım Adım Çözüm

1

TBA'nın temel amacını hatırlama

TBA'nın amacı, aralarında yüksek korelasyon bulunan çok sayıdaki orijinal değişkeni, aralarında korelasyon bulunmayan daha az sayıdaki yeni değişkene (temel bileşene) dönüştürerek boyut indirgemektir.

Amacın belirlenmesi, varsayımların neden gerekli olduğunu anlamanın temelidir.

2

Korelasyon matrisinin birim matris (identity matrix) olma durumunu analiz etme

Eğer korelasyon matrisi birim matris ise, bu durum tüm orijinal değişkenlerin zaten birbirinden bağımsız (korelasyonsuz) olduğu anlamına gelir.

Değişkenler bağımsızsa, paylaştıkları ortak bir bilgi yoktur.

3

Bağımsızlık durumunun boyut indirgemeye etkisini değerlendirme

Ortak varyans olmadığı için her bir temel bileşen, doğrudan orijinal değişkenlerden birine karşılık gelir. Veri setindeki bilgi kaybı olmadan boyut sayısı azaltılamaz.

Bu durum, TBA'nın veri özetleme işlevini tamamen etkisiz hale getirir.

Anahtar Kavram

TBA'da Korelasyon Varsayımı ve Boyut İndirgeme Mantığı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 106Soru →

Standartlaştırılmış 4 değişken (korelasyon matrisi) üzerinden gerçekleştirilen bir Temel Bileşenler Analizinde (TBA), elde edilen birinci temel bileşene ( $Y_1$ ) ait değişken yükleri (loadings) sırasıyla $0,80$ ; $-0,60$ ; $0,50$ ve $-0,50$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, analizin sonuçları ve temel bileşen yüklerinin özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Birinci temel bileşene ait özdeğer

1,50

'dir; yüklerin işaretleri değişkenlerin bileşenle olan ilişkisinin yönünü yansıtır ve tüm işaretlerin tersine çevrilmesi açıklanan varyans miktarını etkilemez.

Negatif işarete sahip olan yükler (

-0,60

ve

-0,50

), ilgili değişkenlerin birinci temel bileşenin açıkladığı varyansı matematiksel olarak azalttığını gösterir.

Temel bileşen yükleri, Faktör Analizindeki faktör yükleriyle aynı yapıdadır ve değişkenlerin spesifik hata varyansından arındırılmış ortak varyansını ifade eder.

Korelasyon matrisi üzerinden hesaplanan birinci temel bileşenin açıklanan varyans oranı doğrudan

\%1,50

'ye eşittir.

Her bir değişkenin temel bileşen yükü, korelasyon matrisinin ilgili özvektör elemanının birinci özdeğere doğrudan bölünmesiyle elde edilmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Birinci temel bileşene ait özdeğer $1,50$ 'dir; yüklerin işaretleri değişkenlerin bileşenle olan ilişkisinin yönünü yansıtır ve tüm işaretlerin tersine çevrilmesi açıklanan varyans miktarını etkilemez.

Cevap

Birinci temel bileşene ait özdeğerin 1,50 olduğunu ve işaretlerin ters çevrilmesinin açıklanan varyansı değiştirmeyeceğini belirten ifade doğrudur.

Doğru yanıt, yüklerin kareleri toplamının özdeğeri verdiğini ve işaretlerin yalnızca yön belirttiğini ifade eden seçenektir. Korelasyon matrisi kullanıldığında bir bileşenin özdeğeri, o bileşene ait yüklerin kareleri toplamına eşittir (

0,64 + 0,36 + 0,25 + 0,25 = 1,50

). Ayrıca, özvektörlerin işaretleri keyfidir; tüm yüklerin işaretlerinin ters çevrilmesi, bileşenin açıkladığı varyans (özdeğer) miktarını değiştirmez.

Adım Adım Çözüm

1

Korelasyon matrisine dayalı Temel Bileşenler Analizinde özdeğer ve yükler arasındaki matematiksel ilişkiyi belirle.

Birinci temel bileşenin özdeğeri (

\lambda_1

), o bileşene ait değişken yüklerinin (

l_{ij}

) kareleri toplamına eşittir:

\lambda_1 = \sum l_{1j}^2

.

Değişkenlerin varyanslarının standartlaştırıldığı durumlarda, bileşenin açıkladığı varyans miktarı (özdeğer) yüklerin kareleri toplanarak bulunur.

2

Verilen yük değerlerinin karelerini al ve topla.

0,80^2 + (-0,60)^2 + 0,50^2 + (-0,50)^2 = 0,64 + 0,36 + 0,25 + 0,25 = 1,50

.

Birinci bileşenin açıkladığı toplam varyansı (özdeğeri) sayısal olarak elde etmek için.

3

Yüklerin işaretlerinin (pozitif/negatif) anlamını ve varyansa etkisini yorumla.

İşaretler yalnızca bileşen ile değişken arasındaki ilişkinin yönünü gösterir. Varyans hesabı kare alınarak yapıldığından işaretlerin tersine çevrilmesi sonucu etkilemez.

Özvektörlerin yönleri keyfidir (orijine göre simetriktir) ve yüklerin mutlak büyüklükleri analize olan asıl katkıyı belirler.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Yüklerinin (Loadings) Yorumlanması ve Özdeğer-Varyans İlişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 107Soru →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) mikro veri seti üzerinde çalışan bir uzman, dört farklı hanehalkı tüketim harcaması kaleminden oluşan $4 \times 4$ boyutlu bir örneklem varyans-kovaryans matrisi ( $S$ ) üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır.

Bu analizde;
- Veri setindeki toplam varyansı ifade eden matrisin izi (trace) $20$ birim olarak hesaplanmıştır.
- Analiz sonucunda elde edilen ilk üç temel bileşene ait özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 9$ , $\lambda_2 = 6$ ve $\lambda_3 = 3$ olarak bulunmuştur.

Temel bileşenler analizinde matris izi ve determinantı ile özdeğerler arasındaki matematiksel özellikler dikkate alındığında, bu varyans-kovaryans matrisinin genelleştirilmiş varyansını ifade eden determinant değeri $(|S|)$ kaçtır?

324

162

20

2

0.90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 324

Cevap

Matrisin determinantı (genelleştirilmiş varyansı) tüm özdeğerlerin çarpımına eşit olduğu için sonuç 324'tür.

Varyans-kovaryans matrisinin özellikleri gereği, matrisin izi özdeğerlerinin toplamına (

\sum \lambda_i = \text{İz}(S)

) ve determinantı özdeğerlerinin çarpımına (

\prod \lambda_i = |S|

) eşittir. Verilen matris

4 \times 4

boyutlu olduğundan 4 adet özdeğeri olmalıdır. İz 20 olarak verildiğine göre dördüncü özdeğer

20 - (9+6+3) = 2

olur. Genelleştirilmiş varyansı temsil eden determinant ise bu dört özdeğerin çarpımı olan

9 \times 6 \times 3 \times 2 = 324

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Matrisin izi (trace) ile özdeğerlerin toplamı arasındaki eşitliği kur.

\text{İz}(S) = \sum_{i=1}^{4} \lambda_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = 20

Varyans-kovaryans matrisinin ana köşegen elemanlarının toplamı (trace), toplam varyansı verir ve bu da tüm özdeğerlerin toplamına eşittir.

2

Verilen özdeğerleri yerine koyarak bilinmeyen dördüncü özdeğeri (

\lambda_4

) hesapla.

9 + 6 + 3 + \lambda_4 = 20 \Rightarrow 18 + \lambda_4 = 20 \Rightarrow \lambda_4 = 2

4 \times 4

boyutlu bir matrisin 4 adet özdeğeri olmalıdır. İlk üçünün toplamı 18 olduğundan, geri kalan varyansı dördüncü özdeğer açıklar.

3

Matrisin determinantı ile özdeğerlerin çarpımı arasındaki eşitliği kullanarak genelleştirilmiş varyansı hesapla.

|S| = \prod_{i=1}^{4} \lambda_i = 9 \times 6 \times 3 \times 2 = 324

Çok değişkenli istatistikte bir matrisin determinantı genelleştirilmiş varyansı ifade eder ve matrisin tüm özdeğerlerinin çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Bir varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) toplam varyansa yani özdeğerlerin toplamına eşitken; determinantı genelleştirilmiş varyansa yani özdeğerlerin çarpımına eşittir.

Soru 108Soru →

Bir istatistik uzmanı, $X_1$ ve $X_2$ standartlaştırılmış değişkenlerinden oluşan bir veri setinin korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Korelasyon matrisinin en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 1,6$ olarak hesaplanmış ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen $Y_1 = 0,8X_1 + 0,6X_2$ şeklinde elde edilmiştir. Temel bileşenlerin özellikleri gereği, ikinci temel bileşeni temsil eden $Y_2 = c_1X_1 + c_2X_2$ doğrusal kombinasyonunda $c_1 < 0$ olduğu bilinmektedir. Buna göre, ikinci temel bileşenin varyansı ( $Var(Y_2)$ ) ve doğrusal kombinasyon denklemi aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

Var(Y_2) = 0,4

ve

Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2

Var(Y_2) = 0,2

ve

Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2

Var(Y_2) = 0,4

ve

Y_2 = -0,8X_1 + 0,6X_2

Var(Y_2) = 0,4

ve

Y_2 = -3X_1 + 4X_2

Var(Y_2) = 0,64

ve

Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $Var(Y_2) = 0,4$ ve $Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2$

Cevap

İkinci temel bileşenin varyansı 0,4 ve doğrusal kombinasyonu Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2 olmalıdır.

Temel Bileşenler Analizinde (TBA) korelasyon matrisinin özdeğerleri toplamı toplam değişken sayısına eşittir (

p=2

). Bu durumda toplam varyans 2 olur. Verilen en büyük özdeğer

\lambda_1 = 1,6

olduğundan, ikinci özdeğer ve dolayısıyla ikinci temel bileşenin varyansı

\lambda_2 = 2 - 1,6 = 0,4

olarak bulunur. İkinci temel bileşenin katsayıları (

c_1, c_2

), birinci temel bileşen katsayılarına dik olmalıdır (

0,8c_1 + 0,6c_2 = 0

). Ayrıca bu katsayı vektörünün boyu 1 birim olacak şekilde normalize edilmesi zorunludur (

c_1^2 + c_2^2 = 1

). Bu denklem sistemi

c_1 < 0

koşulu ile çözüldüğünde

c_1 = -0,6

ve

c_2 = 0,8

değerleri elde edilir. Dolayısıyla doğru denklem

Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1

Korelasyon matrisi üzerinden toplam varyansı belirleme.

Standartlaştırılmış iki değişken kullanıldığı için matrisin izi (köşegen elemanları toplamı) ve dolayısıyla toplam varyans 2'dir.

Korelasyon matrisinin asal köşegenindeki her bir eleman 1'dir. Değişken sayısı

p=2

olduğundan

\sum \lambda_i = p = 2

eşitliği geçerlidir.

2

İkinci temel bileşenin varyansını (

\lambda_2

) hesaplama.

\lambda_1 + \lambda_2 = 2 \Rightarrow 1,6 + \lambda_2 = 2 \Rightarrow \lambda_2 = 0,4

. İkinci bileşenin varyansı

Var(Y_2) = 0,4

olur.

Temel Bileşenler Analizinde her bir bileşenin varyansı, o bileşene karşılık gelen özdeğere (

\lambda

) eşittir.

3

İkinci temel bileşen katsayılarının sağlaması gereken diklik (ortogonallik) eşitliğini kurma.

a_1^T a_2 = 0 \Rightarrow 0,8c_1 + 0,6c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -\frac{4}{3}c_1

eşitliği elde edilir.

Farklı temel bileşenler birbirleriyle ilişkisiz (korelasyonsuz) olmalıdır, bu durum katsayı vektörlerinin birbirine dik olmasıyla sağlanır.

4

Katsayıların normalizasyon kuralını uygulayarak nihai değerleri bulma.

c_1^2 + c_2^2 = 1 \Rightarrow c_1^2 + (-\frac{4}{3}c_1)^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{9}c_1^2 = 1 \Rightarrow c_1^2 = 0,36

. Koşul gereği

c_1 < 0

olduğundan

c_1 = -0,6

ve

c_2 = 0,8

bulunur.

Temel bileşen katsayıları (özvektörler) her zaman birim vektör olarak normalize edilir, yani katsayıların kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

TBA'da özdeğerlerin toplam varyansa eşitliği, bileşen varyanslarının özdeğer olması ve katsayı (özvektör) matrisinin ortonormal (dik ve normalize edilmiş) yapısı.

Temel Bileşenler Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar