Neyman Dağıtımı Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumu, üç farklı bölgedeki tarımsal işletmelerin verimliliğini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemi kullanmaya karar vermiştir. Bölgelere (tabakalara) ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka (Bölge)	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge (Marmara)	2000	10
2. Bölge (Ege)	3000	20
3. Bölge (İç Anadolu)	5000	4

Toplam örneklem hacmi $n = 500$ olarak belirlendiğine göre, Neyman dağıtımı yöntemine göre Ege Bölgesi'nden (2. Bölge) seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı kaçtır?

100

150

167

300

405

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 300

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre Ege Bölgesi'nden (2. Bölge) seçilmesi gereken örneklem birimi sayısı 300'dür.

Neyman dağıtımı yönteminde, her tabakaya ayrılacak örneklem birimi sayısı

n_h = n \times (N_h S_h / \sum N_h S_h)

formülü ile belirlenir. Tablodaki verilerle yapılan hesaplamada, 2. bölge için pay değerinin (

60.000

) toplam pay değerine (

100.000

) oranı

0,6

'dır. Bu oranın toplam örneklem sayısı olan

500

ile çarpımı sonucunda

300

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayınız.

1. Bölge:

2000 \times 10 = 20.000

; 2. Bölge:

3000 \times 20 = 60.000

; 3. Bölge:

5000 \times 4 = 20.000

Neyman dağıtımı, tabaka büyüklüğü ile tabaka içi değişkenliğin (standart sapma) çarpımıyla orantılı bir dağıtım yapar.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulunuz.

20.000 + 60.000 + 20.000 = 100.000

Bu toplam, her tabakaya düşecek payı belirlemek için payda olarak kullanılacaktır.

3

Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) 2. bölge için uygulayınız.

n_2 = 500 \cdot \frac{60.000}{100.000} = 500 \cdot 0,6 = 300

Toplam örneklem hacmi olan 500 birim, tabakaların ağırlıklı değişkenliklerine göre paylaştırılır.

Anahtar Kavram

Neyman dağıtımı, tabakalı örneklemede maliyetlerin eşit olduğu varsayımı altında, tahminleyicinin varyansını minimuma indirmek için örneklemi tabakalara

N_h S_h

değerleriyle orantılı olarak dağıtır.

İpuçları

1

Neyman dağıtımı yapılırken hem kitle büyüklüğü (

N_h

) hem de standart sapma (

S_h

) dikkate alınır.

2

Önce her bölge için

N_h

ve

S_h

değerlerini çarpın, ardından bu çarpımların toplam içerisindeki oranını bulun.

3

Formül:

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

. Ege Bölgesi için

N_2 S_2 = 60.000

ve toplam

\sum N_h S_h = 100.000

değerlerini kullanın.

Daha Fazla Pratik

Maliyet kısıtı eklendiğinde Neyman dağıtımının nasıl 'Optimum Dağıtım'a dönüştüğünü inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir araştırmacı, bir ildeki üç farklı mahallede hane halkı aylık harcamalarını incelemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Mahallelerdeki toplam hane sayıları ( $N_h$ ) ve harcamalara ilişkin standart sapma değerleri ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Mahalle ( $h$ )	Hane Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	2000	10
2	3000	20
3	5000	30

Araştırmacı toplamda $n = 460$ hane seçmeye karar verdiğine göre, Neyman dağıtımı (Neyman Allocation) yöntemine göre 2. mahalleden seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

40

92

120

138

230

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre 2. mahalleden seçilmesi gereken hane sayısı 120'dir.

Neyman dağıtımı formülü olan

n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

uygulandığında, 2. mahalle için

460 \times (60.000 / 230.000)

işlemi yapılarak 120 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka (mahalle) için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

1. Mahalle:

2000 \times 10 = 20.000

; 2. Mahalle:

3000 \times 20 = 60.000

; 3. Mahalle:

5000 \times 30 = 150.000

.

Neyman dağıtımı formülünün pay kısmında her tabakanın büyüklüğü ile standart sapmasının çarpımı yer alır.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulun.

\sum N_h S_h = 20.000 + 60.000 + 150.000 = 230.000

.

Bu toplam, örneklem hacminin tabakalara ağırlıklı olarak dağıtılması için payda değerini oluşturur.

3

Neyman dağıtımı formülünü kullanarak

n_2

değerini hesaplayın:

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

n_2 = 460 \times \frac{60.000}{230.000} = 460 \times \frac{6}{23} = 20 \times 6 = 120

.

2. mahallenin ağırlığı (

60.000 / 230.000

) toplam örneklem hacmi olan 460 ile çarpılarak o mahallenin örneklem büyüklüğü belirlenir.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı, tabakalı örneklemede örneklem hacmini tabakalara, tabaka büyüklüğü (

N_h

) ve tabaka içi değişkenliğin (

S_h

) çarpımıyla orantılı olarak dağıtır.

Daha Fazla Pratik

Neyman dağıtımı ile orantılı dağıtım arasındaki varyans farkını hesaplayarak Neyman dağıtımının neden daha etkin olduğunu inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgedeki tarımsal işletmelerin yıllık üretim miktarlarını incelemek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmaya karar vermiştir. Toplamda $n = 160$ işletmeden oluşan bir örneklem seçilmesi planlanmaktadır. Bölgelere (tabakalara) ilişkin birim sayıları ve standart sapma değerleri aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka (Bölge)	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
I. Bölge	400	10
II. Bölge	600	20

Buna göre, Neyman dağıtımı (varyansla orantılı dağıtım) yöntemine göre II. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

120

96

80

64

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre II. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 120'dir.

Neyman dağıtımında, her tabakadan seçilecek birim sayısı

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülüyle belirlenir. Verilen verilere göre payda değeri

\sum N_h S_h = (400 \times 10) + (600 \times 20) = 16000

olarak bulunur. II. bölge için pay kısmı

600 \times 20 = 12000

olduğundan,

n_2 = 160 \times (12000 / 16000) = 120

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

I. Bölge:

400 \times 10 = 4000

; II. Bölge:

600 \times 20 = 12000

Neyman dağıtımında tabaka örneklem hacimleri, tabaka büyüklüğü ve standart sapmanın çarpımı ile orantılıdır.

2

Hesaplanan değerlerin toplamını bulun.

\sum N_h S_h = 4000 + 12000 = 16000

Genel örneklem hacminin paylaştırılması için payda değerini oluşturmak gerekir.

3

Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) II. Bölge için uygulayın.

n_2 = 160 \times \frac{12000}{16000} = 160 \times 0,75 = 120

İlgili tabakanın ağırlığına göre toplam örneklem hacmi dağıtılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı (Varyansla Orantılı Dağıtım)

Daha Fazla Pratik

Neyman dağıtımının orantılı dağıtıma göre ne zaman daha etkin (varyansı daha düşük) sonuçlar verdiğini incelemek için tabaka içi varyansların farklılığını analiz edebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Bir bakanlık, iki farklı bölgedeki sanayi işletmelerinin yıllık enerji tüketimlerini incelemek üzere tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 200$ birimlik bir örneklem seçmeyi planlamaktadır. Bölgelere ait kitle büyüklükleri ( $N_h$ ) ve tabaka standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Bölge)	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge	1000	4
2. Bölge	2000	3

Buna göre, Neyman dağıtımı (optimum dağıtım) yöntemine göre 1. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

67

80

100

120

133

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre 1. Bölge için seçilmesi gereken örneklem hacmi 80 birimdir.

Neyman dağıtımı yönteminde, her tabakadan alınacak örneklem sayısı, o tabakanın kitledeki büyüklüğü ve standart sapmasının çarpımı ile doğru orantılıdır. Yapılan hesaplamada 1. bölge için

1000 \times 4 = 4000

ve 2. bölge için

2000 \times 3 = 6000

değerleri elde edilmiş, toplam payda ise

10.000

olarak bulunmuştur. Toplam örneklem büyüklüğü (

200

), 1. bölgenin payı olan

4000/10.000

oranıyla çarpıldığında

80

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için kitle büyüklüğü ve standart sapma çarpımını (

N_h S_h

) hesaplayın.

1. Bölge:

1000 \times 4 = 4000

; 2. Bölge:

2000 \times 3 = 6000

Neyman dağıtımında örneklem hacmi, tabaka büyüklüğü ve tabaka içi değişkenlik ile doğru orantılıdır.

2

Tabakalara ait çarpımların toplamını (

\sum N_h S_h

) bulun.

4000 + 6000 = 10.000

Bu toplam, örneklem hacminin tabakalara dağıtılmasında kullanılacak olan paydayı oluşturur.

3

Neyman formülünü (

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) kullanarak 1. Bölge'nin payını bulun.

n_1 = 200 \times \frac{4000}{10.000} = 200 \times 0,4 = 80

Toplam örneklem hacmi olan 200, 1. bölgenin ağırlığına göre dağıtılmıştır.

Anahtar Kavram

Neyman dağıtımı, tabakalı örneklemede maliyetlerin eşit olduğu varsayımı altında, toplam varyansı minimize etmek için örneklem hacminin tabakalara

N_h S_h

değerleriyle orantılı dağıtılmasıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgedeki hizmet kalitesini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 120$ birimlik bir örneklem seçecektir. Bölgelere (tabakalara) ait bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
Bölge I	200	10
Bölge II	800	5

Buna göre, Neyman dağıtımı (Neyman allocation) kullanılarak örneklem birimleri paylaştırıldığında, Bölge I'den seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) kaçtır?

24

40

60

80

96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Neyman dağıtımı kullanıldığında Bölge I'den seçilmesi gereken örneklem hacmi 40 birimdir.

Doğru seçenek olan 40 değeri, Neyman dağıtımı prensibine dayanmaktadır. Neyman dağıtımında her tabakaya düşen örneklem hacmi

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülü ile hesaplanır. Bölge I için

N_1 S_1 = 2000

ve toplam ağırlık

\sum N_h S_h = 6000

olduğundan, Bölge I'in ağırlığı toplamın 1/3'üdür. Bu oran 120 birimlik toplam örnekleme uygulandığında

120 / 3 = 40

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayın.

Bölge I:

200 \times 10 = 2000

; Bölge II:

800 \times 5 = 4000

.

Neyman dağıtımı, örneklem birimlerini tabaka büyüklüğü ile tabaka içi değişkenliğin (standart sapma) çarpımıyla orantılı olarak dağıtır.

2

Tabakalardan elde edilen çarpımların toplamını bulun.

\sum N_h S_h = 2000 + 4000 = 6000

.

Genel örneklem hacminin (n) paylaştırılmasında kullanılacak payda değerini belirlemek için gereklidir.

3

Bölge I için Neyman dağıtımı formülünü (

n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

) uygulayın.

n_1 = 120 \times \frac{2000}{6000} = 120 \times \frac{1}{3} = 40

.

Bölge I'in toplam ağırlık içindeki payına göre seçilecek birim sayısını belirlemek için kullanılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumu, personelin hizmet içi eğitimlerden duyduğu memnuniyeti ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemiyle $n = 100$ kişilik bir örneklem seçecektir. Kurumdaki iki farklı birime (tabakaya) ait bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Tabaka	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Tabaka	200	10
2. Tabaka	300	20

Buna göre, Neyman dağıtımı (Neyman allocation) yöntemi kullanıldığında 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_1$ ) kaçtır?

25

40

50

20

75

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Neyman dağıtımı yöntemine göre 1. tabakadan seçilmesi gereken örneklem hacmi 25 birimdir.

Neyman dağıtımı formülüne göre, bir tabakaya ayrılacak örneklem sayısı

n_h = n \times (N_h S_h / \sum N_h S_h)

şeklinde hesaplanır. Verilen değerlerle 1. tabaka için

200 \times 10 = 2000

ve 2. tabaka için

300 \times 20 = 6000

değerleri elde edilir. Toplam değer

8000

olduğundan,

100 \times (2000 / 8000) = 25

sonucu 1. tabaka için seçilmesi gereken doğru birim sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Her tabaka için tabaka büyüklüğü (

N_h

) ile tabaka standart sapmasının (

S_h

) çarpımını hesaplayın.

1. Tabaka:

200 \times 10 = 2000

; 2. Tabaka:

300 \times 20 = 6000

Neyman dağıtımı, tabakalara örneklem hacmini tabaka büyüklüğü ve değişkenliği (standart sapma) ile doğru orantılı olarak dağıtır.

2

Hesaplanan bu değerlerin toplamını (

∑ N_h S_h

) bulun.

2000 + 6000 = 8000

Dağıtım oranını belirlemek için payda değerine ihtiyaç vardır.

3

n_1 = n \times \frac{N_1 S_1}{\sum N_h S_h}

formülünü uygulayın.

n_1 = 100 \times \frac{2000}{8000} = 100 \times 0,25 = 25

Genel örneklem hacminin 1. tabakaya düşen payını hesaplamak için ilgili tabaka ağırlığı kullanılır.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı (Neyman Allocation)

Soru 7Soru →

Bir araştırmacı, kitle hacmi $N = 600$ olan bir ana kütleyi iki tabakaya ayırmıştır. Toplam $n = 100$ birimlik bir örneklem hacminin Neyman dağıtımı yöntemi kullanılarak tabakalara paylaştırılması planlanmaktadır.

Tabakalara ait bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Birim Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1	400	2
2	200	6

Bu bilgilere göre, 2. tabakaya tahsis edilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

33

40

50

60

70

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Neyman dağıtımı formülüne göre 2. tabaka için hesaplanan örneklem hacmi 60 birimdir.

Neyman dağıtımı, örneklem hacminin tabakalara

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülüyle dağıtılmasını sağlar. Bu soruda 2. tabaka için pay değeri

200 \times 6 = 1200

, toplam payda değeri ise

800 + 1200 = 2000

olarak hesaplanır.

100

birimlik örneklem bu orana göre dağıtıldığında

60

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için

N_h \times S_h

değerlerini hesaplayınız.

1. Tabaka:

400 \times 2 = 800

; 2. Tabaka:

200 \times 6 = 1200

Neyman dağıtımında tabaka ağırlıkları hem birim sayısı hem de standart sapma ile belirlenir.

2

Tabaka ağırlıklarının toplamını (

\sum N_h S_h

) bulunuz.

800 + 1200 = 2000

Genel örneklem hacminin dağıtılacağı toplam payda değerini belirlemek gerekir.

3

2. tabaka için Neyman dağıtımı formülünü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulayınız.

n_2 = 100 \times \frac{1200}{2000} = 100 \times 0,6 = 60

Toplam örneklem hacmi, tabakanın kitle içindeki ağırlıklı payı oranında tahsis edilir.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı

Daha Fazla Pratik

Aynı verilerle varyansı minimize eden 'Optimum Dağıtım' için maliyetlerin dahil edildiği senaryoları inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Önce tabakaların ağırlık oranları belirlenebilir:

w_1 = 800/2000 = 0,4

ve

w_2 = 1200/2000 = 0,6

. Daha sonra toplam örneklem bu oranlarla çarpılır:

100 \times 0,6 = 60

.

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir belediye, ilçesindeki mahallelerde günlük üretilen ortalama katı atık miktarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanacaktır. Mahalleler, nüfus yoğunluklarına göre üç farklı tabakaya ayrılmıştır. Tabakalara ilişkin mahalle sayıları ( $N_h$ ) ve günlük katı atık miktarına ait standart sapmalar ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Nüfus Yoğunluğu	Mahalle Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ , ton)
1	Düşük	400	6
2	Orta	400	3
3	Yüksek	200	12

Belediye, toplam $n = 140$ mahalleden oluşan bir örneklem seçecektir.

Buna göre, Orta Yoğunluklu (2. Tabaka) mahallelerden seçilecek örneklem hacmi ( $n_2$ ) Neyman dağıtımına göre kaçtır?

11

20

28

47

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Doğru yanıt 28'dir. 2. Tabakadan Neyman dağıtımına göre 28 mahalle seçilmelidir.

Neyman dağıtımında her tabakadan seçilecek örneklem hacmi, o tabakanın kitledeki büyüklüğü (

N_h

) ve kendi içindeki değişkenliği (

S_h

) ile doğru orantılı olarak belirlenir. Toplam ağırlık

\sum N_h S_h = 6000

olarak bulunur. 2. Tabaka için pay

N_2 S_2 = 1200

'dür. Formül uygulandığında

n_2 = 140 \times (1200 / 6000) = 28

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Her bir tabaka için büyüklük ile standart sapma çarpımlarını (

N_h \times S_h

) hesaplama.

N_1 S_1 = 400 \times 6 = 2400

N_2 S_2 = 400 \times 3 = 1200

N_3 S_3 = 200 \times 12 = 2400

Neyman dağıtımında her tabakanın alacağı payı belirleyen temel ağırlık faktörlerini bulmak için.

2

Tabaka ağırlık faktörlerinin toplamını (

\sum N_h S_h

) bulma.

\sum N_h S_h = 2400 + 1200 + 2400 = 6000

Örneklem dağıtım oranının paydasını (toplam ağırlığı) oluşturmak için.

3

2. Tabaka için Neyman dağıtımı formülünü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulama.

n_2 = 140 \times \frac{1200}{6000} = 140 \times \frac{1}{5} = 28

Örneklem hacmini tabakanın kitledeki payı ve değişkenliğine göre optimize ederek dağıtmak için.

Anahtar Kavram

Neyman Dağıtımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 9Soru →

Bir ulusal araştırma kurumu, üç farklı coğrafi bölgedeki hanelerin aylık gıda harcamalarını tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini uygulayacaktır. Tabakalara (bölgelere) ilişkin hane sayıları ( $N_h$ ) ve harcama tutarlarının standart sapmaları ( $S_h$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka (Bölge)	Hane Sayısı ( $N_h$ )	Standart Sapma ( $S_h$ )
1. Bölge	500	10
2. Bölge	300	20
3. Bölge	200	25

Araştırmada toplam $n = 160$ hanelik bir örneklem seçilecektir. Başlangıçta örneklem hacminin tabakalara dağıtımı için orantılı dağıtım (proportional allocation) yöntemi kullanılması planlanmış, ancak daha sonra tabaka içi varyansların farklılığı dikkate alınarak Neyman dağıtımı yönteminin uygulanmasına karar verilmiştir.

Buna göre, dağıtım yöntemi orantılı dağıtımdan Neyman dağıtımına çevrildiğinde, 2. Bölge'den seçilecek örneklem hacmindeki değişim ve Neyman dağıtımına göre 3. Bölge'den seçilmesi gereken örneklem hacmi aşağıdakilerden hangisinde doğru sırayla verilmiştir?

12 artar, 50

Değişmez, 32

10 artar, 73

12 artar, 32

12 azalır, 50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12 artar, 50

Cevap

Dağıtım yöntemi değiştirildiğinde 2. Bölge'nin örneklem hacmi 12 artar, 3. Bölge'nin Neyman dağıtımına göre örneklem hacmi ise 50 olur.

Orantılı dağıtıma göre 2. Bölge'ye düşen örneklem hacmi

160 \times (300/1000) = 48

'dir. Neyman dağıtımına göre dağıtım ağırlıkları

N_h S_h

çarpımları ile hesaplanır. Çarpımlar sırasıyla 5000, 6000 ve 5000 olup toplam

\sum N_h S_h = 16000

'dir. Buna göre 2. Bölge'nin yeni örneklem hacmi

160 \times (6000/16000) = 60

olur ve hacim

60 - 48 = 12

artar. 3. Bölge'nin Neyman dağıtımına göre örneklem hacmi ise

160 \times (5000/16000) = 50

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve 2. Bölge için orantılı dağıtım örneklem hacmini hesaplamak.

N = 500 + 300 + 200 = 1000

. 2. Bölge orantılı dağıtım hacmi:

n_{2,orant\i l\i} = 160 \times \frac{300}{1000} = 48

.

Değişimi bulmak için öncelikle orantılı dağıtımdaki ilk örneklem hacmi belirlenmelidir.

2

Neyman dağıtımı için tabaka ağırlıklarını (

N_h S_h

) ve ağırlıklar toplamını hesaplamak.

N_1 S_1 = 5000

,

N_2 S_2 = 6000

,

N_3 S_3 = 5000

. Toplam:

\sum N_h S_h = 16000

.

Neyman dağıtımı formülünün pay ve payda değerlerini elde etmek için gereklidir.

3

2. Bölge için Neyman dağıtımı hacmini hesaplayıp değişimi bulmak.

n_{2,Neyman} = 160 \times \frac{6000}{16000} = 60

. Değişim:

60 - 48 = 12

artar.

Sorunun ilk aşamasında istenen değişim miktarını ve yönünü tespit etmek.

4

3. Bölge için Neyman dağıtımı hacmini hesaplamak.

n_{3,Neyman} = 160 \times \frac{5000}{16000} = 50

.

Sorunun ikinci aşamasında doğrudan istenen Neyman dağıtımı sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Orantılı Dağıtım ve Neyman Dağıtımı Karşılaştırması

Soru 10Soru →

Bir araştırmacı, kitle büyüklüğü $N = 1.000$ olan bir popülasyonu üç farklı tabakaya ayırmış ve tabakalara ilişkin bazı temel özellikleri hesaplamıştır.

Tabaka	Kitle Büyüklüğü ( $N_h$ )	Kitle Varyansı ( $S_h^2$ )
1	400	9
2	500	16
3	100	64

Araştırmacı, bu kitle üzerinden $n = 180$ birimlik bir örneklem çekmeyi planlamaktadır.

Eğer araştırmacı örneklem hacminin tabakalara dağıtımında orantılı dağıtım yerine Neyman dağıtımı kullanmaya karar verirse, 3. tabakadan (Tabaka 3) seçilecek örneklem hacminde nasıl bir değişim meydana gelir?

18 azalır

18 artar

36 artar

46 artar

78 artar

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18 artar

Cevap

18 artar.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi salt kitle büyüklüklerine göre paylaştırılır ve 3. tabaka için

180 \times (100 / 1000) = 18

olarak hesaplanır. Neyman dağıtımında ise varyansların karekökü olan standart sapmalar sürece dahil edilir. Standart sapmalar sırasıyla 3, 4 ve 8'dir. Ağırlıklı varyasyonlar (

N_h S_h

) sırasıyla 1200, 2000 ve 800 olur. Toplamları 4000'dir. 3. tabaka için Neyman dağıtımı

180 \times (800 / 4000) = 36

birim olarak elde edilir. Buna göre, örneklem hacmi

36 - 18 = 18

birim artmış olur.

Adım Adım Çözüm

1

3. tabaka için orantılı dağıtıma göre örneklem hacmini hesapla.

n_{3(Orantılı)} = n \times \frac{N_3}{N} = 180 \times \frac{100}{1000} = 18

birim.

Orantılı dağıtımda örneklem hacmi sadece tabaka büyüklüklerine (

N_h

) göre paylaştırılır.

2

Her tabakanın standart sapmasını (

S_h

) hesapla ve

N_h \times S_h

çarpımlarını bul.

Tabaka 1:

S_1 = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow 400 \times 3 = 1200

Tabaka 2:

S_2 = \sqrt{16} = 4 \Rightarrow 500 \times 4 = 2000

Tabaka 3:

S_3 = \sqrt{64} = 8 \Rightarrow 100 \times 8 = 800

Neyman dağıtım formülünde tabaka varyansı (

S_h^2

) değil, standart sapması (

S_h

) kullanılır.

3

Neyman dağıtımı formülünün paydası için

\sum N_h S_h

toplamını hesapla.

\sum N_h S_h = 1200 + 2000 + 800 = 4000

Neyman dağıtımında, her bir tabakanın kitle ağırlığı ve değişkenliğinin bileşkesine göre paylaştırma yapılır.

4

3. tabaka için Neyman dağıtımına göre örneklem hacmini hesapla.

n_{3(Neyman)} = n \times \frac{N_3 S_3}{\sum N_h S_h} = 180 \times \frac{800}{4000} = 180 \times 0.2 = 36

birim.

Formüle veriler yerleştirilerek bu tabakanın varyasyonu da dikkate alan örneklem hacmine ulaşılır.

5

İki dağıtım yöntemi arasındaki değişimi bul.

36 - 18 = +18

(18 birim artar).

Soru, orantılı dağıtımdan Neyman dağıtımına geçişteki örneklem hacmi değişimini sormaktadır.

Anahtar Kavram

Neyman ve Orantılı Dağıtım Arasındaki Farklılıklar

Soru 11Soru →

Enerji Piyasası Düzenleme Kurumu (EPDK), bir elektrik dağıtım bölgesindeki akıllı sayaçların okuma hata paylarını incelemek üzere bir denetim çalışması planlamaktadır. Bölgedeki aboneler kullanım türlerine göre üç tabakaya ayrılmıştır. Araştırmada kullanılmak üzere, geçmiş verilere dayanılarak her tabaka için okuma hatalarının varyansları ( $S_h^2$ ) tahmin edilmiştir.

Araştırmada birim maliyetlerin tabakalar arasında eşit olduğu varsayılmış olup, toplam $n = 500$ akıllı sayaçtan oluşan bir örneklem seçilecektir.

Aşağıdaki tabloda her bir tabakadaki abone sayıları ( $N_h$ ) ve tahmin edilen tabaka varyansları ( $S_h^2$ ) verilmiştir:

Tabaka ( $h$ )	Kullanım Türü	Abone Sayısı ( $N_h$ )	Tabaka Varyansı ( $S_h^2$ )
1	Mesken	39.000	100
2	Ticarethane	10.000	1.681
3	Sanayi	1.000	40.000

Buna göre, optimum (Neyman) dağıtımı kullanıldığında Ticarethane (Tabaka 2) grubundan seçilmesi gereken örneklem hacmi ( $n_2$ ) kaçtır?

82

100

138

195

205

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 205

Cevap

Ticarethane grubu için seçilmesi gereken örneklem hacmi 205'tir.

Ticarethane grubu için doğru örneklem hacmi 205'tir. Neyman dağıtımında

n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h}

formülü kullanılır. Öncelikle varyans değerlerinin (

S_h^2

) karekökü alınarak standart sapmalar (

S_h

) 10, 41 ve 200 olarak bulunmalıdır. Tabaka büyüklükleri ile çarpıldığında Ticarethane için

10.000 \times 41 = 410.000

, toplam payda ise

1.000.000

olur. Toplam

n=500

hacim bu orana göre dağıtıldığında Ticarethane payı

500 \times 0,41 = 205

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman dağıtımı formülünde kullanılacak olan standart sapma (

S_h

) değerlerini elde etmek için tabloda verilen varyans (

S_h^2

) değerlerinin karekökü alınır.

S_1 = \sqrt{100} = 10

,

S_2 = \sqrt{1.681} = 41

,

S_3 = \sqrt{40.000} = 200

Neyman dağıtımı formülü varyans ile değil, standart sapma ile çalışır.

2

Her bir tabaka için tabaka büyüklüğü (

N_h

) ile standart sapma (

S_h

) çarpılarak

N_h S_h

değerleri bulunur.

Mesken:

39.000 \times 10 = 390.000

Ticarethane:

10.000 \times 41 = 410.000

Sanayi:

1.000 \times 200 = 200.000

Dağıtım ağırlıkları bu çarpımların sonucuna göre belirlenir.

3

Tüm tabakaların

N_h S_h

çarpımları toplanarak payda hesaplanır (

\sum N_h S_h

).

\sum N_h S_h = 390.000 + 410.000 + 200.000 = 1.000.000

Her tabakanın oransal payını bulmak için toplam değere ihtiyaç vardır.

4

Ticarethane (Tabaka 2) için Neyman dağıtımı formülü (

n_2 = n \times \frac{N_2 S_2}{\sum N_h S_h}

) uygulanır.

n_2 = 500 \times \frac{410.000}{1.000.000} = 500 \times 0,41 = 205

İstenen tabakaya düşen örneklem payı kesin olarak hesaplanmış olur.

Anahtar Kavram

Neyman dağıtımında örneklem hacminin, tabakaların büyüklüğü (

N_h

) ve standart sapmalarıyla (

S_h

) doğru orantılı olarak dağıtılması.

Neyman Dağıtımı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar