Şebeke Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 4

Soru 61Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen "Ulusal Tohum Gen Bankası Modernizasyon Projesi"ne ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve öngörülen süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Tanım	Öncül Faaliyet(ler)	Süre (Hafta)
A	İhtiyaç Analizi ve Fizibilite	-	5
B	Bütçe ve Finansman Onayı	-	7
C	Mimari Tasarımın Tamamlanması	A	6
D	İklimlendirme Sistemleri İhalesi	A	4
E	Uluslararası Ekipman Tedariki	B	8
F	İnşaat ve Altyapı İşleri	C, E	5
G	İklimlendirme ve Havalandırma Kurulumu	C, D	6
H	Sistem Entegrasyonu ve Test	F, G	4

Projenin planlanan en erken sürede tamamlanması hedeflenmektedir.

Buna göre, D faaliyeti (İklimlendirme Sistemleri İhalesi) için toplam bolluk (total float) ve serbest bolluk (free float) süreleri sırasıyla kaç haftadır?

5 ve 2

5 ve 0

5 ve 5

3 ve 0

4 ve 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5 ve 2

Cevap

D faaliyeti için toplam bolluk 5 hafta, serbest bolluk ise 2 haftadır. Doğru seçenek '5 ve 2' olan seçenektir.

D faaliyetinin ileri doğru hesaplaması sonucunda En Erken Başlaması (ES) 5, süresi 4 olduğu için En Erken Bitişi (EF) 9'dur. D'nin ardından gelen G faaliyetinin başlaması için hem C'nin (EF=11) hem D'nin bitmesi gerektiğinden, G'nin En Erken Başlaması 11 olur. Serbest Bolluk = (Ardılın ES'i) - (Mevcut Faaliyetin EF'i) formülünden 11 - 9 = 2 hafta bulunur. Geriye doğru hesaplamada ise projenin bitişi 24 alınarak ilerlendiğinde G'nin En Geç Başlaması (LS) 14 bulunur. D'nin En Geç Bitişi (LF) ardılı olan G'nin LS değerine eşittir (14). Toplam Bolluk = LF - EF formülünden 14 - 9 = 5 hafta bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleriye doğru hesaplama (Forward Pass) ile En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitiş (EF) zamanlarını bulma.

A(ES=0, EF=5), B(ES=0, EF=7), C(ES=5, EF=11), D(ES=5, EF=9), E(ES=7, EF=15), F için max(11, 15)=15 (EF=20), G için max(11, 9)=11 (EF=17), H için max(20, 17)=20 (EF=24). Proje 24 haftada biter.

Her bir faaliyetin projenin başlangıcından itibaren ne kadar erken tamamlanabileceğini ve ardıl faaliyetlerin en erken ne zaman başlayabileceğini belirlemek için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) ile En Geç Başlama (LS) ve En Geç Bitiş (LF) zamanlarını belirleme.

H(LF=24, LS=20), F(LF=20, LS=15), G(LF=20, LS=14). D faaliyetinin tek ardılı G olduğu için D'nin LF değeri, G'nin LS değerine (14) eşittir. D(LF=14, LS=10).

Proje bitiş süresini geciktirmeden faaliyetlerin ne kadar ertelenebileceğini (bolluklarını) bulabilmek için geriye doğru sınırlar hesaplanmalıdır.

3

D faaliyeti için Toplam Bolluk (TF) ve Serbest Bolluk (FF) değerlerini hesaplama.

Toplam Bolluk (TF) = LF - EF = 14 - 9 = 5 hafta. Serbest Bolluk (FF) = Ardıl Faaliyetin (G) ES değeri - D'nin EF değeri = 11 - 9 = 2 hafta.

Toplam bolluk projenin genelini geciktirmeden sahip olunan esnekliği, serbest bolluk ise yalnızca ardıl faaliyetleri geciktirmeden kullanılabilecek esnekliği gösterir.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yönteminde (CPM) Toplam ve Serbest Bolluk Hesaplamaları

Soru 62Soru →

Toprak Mahsulleri Ofisi (TMO), İç Anadolu Bölgesi'ndeki ana toplama merkezinden ( $K$ ) limana ( $L$ ) tren yoluyla buğday taşımaktadır. Ağ üzerinde bölgesel aktarma istasyonları ( $A$ ve $B$ ) ile liman ardalanı dağıtım merkezleri ( $C$ ve $D$ ) bulunmaktadır.

Düğümler arasındaki tek yönlü demiryolu hatlarının haftalık maksimum taşıma kapasiteleri (bin ton) aşağıda verilmiştir:
- $K \to A$ : $15$
- $K \to B$ : $10$
- $A \to B$ : $2$
- $A \to C$ : $12$
- $B \to C$ : $4$
- $B \to D$ : $9$
- $C \to D$ : $3$
- $C \to L$ : $14$
- $D \to L$ : $8$

Buna göre, şebekede başlangıç ( $K$ ) düğümünden bitiş ( $L$ ) düğümüne taşınabilecek maksimum buğday miktarı ve sistemin taşıma kapasitesini doğrudan sınırlayan darboğaz hatları (minimum kesme) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

20 bin ton;

A \to C

ve

D \to L

22 bin ton;

C \to L

ve

D \to L

24 bin ton;

K \to B

,

A \to B

ve

A \to C

25 bin ton;

K \to A

ve

K \to B

22 bin ton;

K \to A

,

B \to C

ve

D \to L

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22 bin ton; $C \to L$ ve $D \to L$

Cevap

Sistemdeki maksimum akış 22 bin tondur ve ağı sınırlayan darboğaz hatları C'den L'ye ve D'den L'ye giden hatlardır (

C \to L

ve

D \to L

).

Verilen şebekede maksimum akış 22 bin tondur. Başlangıçtan hedefe ulaşılabilecek alternatif yollar (

K\to A\to C\to L

,

K\to B\to D\to L

ve

K\to A\to B\to C\to L

) kullanıldığında toplam 22 birimlik bir kapasite tüketilir. Limana (

L

) giden son hatlar olan

C \to L

(14 birim) ve

D \to L

(8 birim) hatları tamamen dolarak toplam 22 birimlik kapasite kısıtına ulaşır. Max-Akış Min-Kesme (Max-Flow Min-Cut) teoremine göre, ağın darboğazı, toplam kapasiteleri 22 olan bu iki hattın oluşturduğu kesmedir.

Adım Adım Çözüm

1

K \to A \to C \to L

yolu üzerinden maksimum olası akışı gönderme

Kapasiteler (15, 12, 14) arasından minimum olan 12 birim akış gönderilir. Kalan kapasiteler:

K \to A

: 3,

A \to C

: 0,

C \to L

: 2.

Maksimum akış algoritmalarında (Ford-Fulkerson) önce yüksek kapasiteli direkt yollar tercih edilerek başlangıç akışı sağlanır.

2

K \to B \to D \to L

yolu üzerinden maksimum olası akışı gönderme

Kapasiteler (10, 9, 8) arasından minimum olan 8 birim akış gönderilir. Kalan kapasiteler:

K \to B

: 2,

B \to D

: 1,

D \to L

: 0. Toplam akış 20 birime ulaşır.

Başka bir bağımsız yol üzerinden sisteme akış eklenir.

3

Artık (residual) kapasiteleri kullanarak alternatif bir çapraz yol (

K \to A \to B \to C \to L

) arama

Kalan kapasiteler:

K \to A

: 3,

A \to B

: 2,

B \to C

: 4,

C \to L

: 2. Minimum kapasite 2 birimdir. Bu yoldan 2 birim akış gönderilir. Toplam akış: 20 + 2 = 22 birim olur.

Ana yollar dolduğunda, sistemdeki atıl kapasiteler çapraz yollar üzerinden değerlendirilerek akış maksimize edilir.

4

Minimum kesme (darboğaz) kontrolü yapma

L düğümüne giren tüm hatların kapasiteleri tamamen dolmuştur (

C \to L

: 14 ve

D \to L

: 8).

14 + 8 = 22

. Max-Akış Min-Kesme teoremine göre kesme kapasitesi maksimum akışa eşittir.

Sistemin daha fazla akış taşıyamamasının temel nedeni, hedef düğüme (

L

) ulaşan hatların toplam kapasitesinin (22) tamamen tükenmiş olmasıdır.

Anahtar Kavram

Maksimum Akış ve Minimum Kesme (Max-Flow Min-Cut) Teoremi

Soru 63Soru →

Orman Genel Müdürlüğüne bağlı bir bölge müdürlüğünde, Yangın Yönetim Merkezi ( $M$ ) ile acil müdahale gerektiren bir ormanlık alan ( $H$ ) arasındaki ulaşım ağı planlanmaktadır. Şebekedeki diğer düğümler ( $K_1, K_2, K_3, K_4, K_5, K_6$ ) orman yollarının kesişim noktalarını (kavşakları) göstermektedir. Düğümler arası bağlantılar ve bu bağlantılardaki tahmini seyahat süreleri (dakika) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Başlangıç Düğümü	Bitiş Düğümü	Seyahat Süresi (dk)
$M$	$K_1$	2
$M$	$K_2$	5
$M$	$K_3$	4
$K_1$	$K_2$	2
$K_1$	$K_4$	7
$K_2$	$K_4$	3
$K_2$	$K_5$	8
$K_3$	$K_5$	6
$K_3$	$K_6$	3
$K_4$	$H$	4
$K_5$	$H$	2
$K_6$	$K_5$	1
$K_6$	$H$	5

(Not: Yollar çift yönlü olup her iki yönde de seyahat süreleri eşittir.)

Buna göre, Yangın Yönetim Merkezinden ( $M$ ) hareket eden bir arazözün yangın bölgesine ( $H$ ) ulaşabileceği en kısa süre kaç dakikadır?

10

11

12

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

En kısa süre 10 dakikadır.

En kısa seyahat süresi veren rota

M \rightarrow K_3 \rightarrow K_6 \rightarrow K_5 \rightarrow H

güzergahıdır. Bu güzergahın toplam süresi

4 + 3 + 1 + 2 = 10

dakikadır. Bu değer, Dijkstra algoritması tüm düğümlere eksiksiz uygulandığında elde edilen minimum değerdir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç düğümünden (

M

) ulaşılan ilk düğümlerin mesafelerini etiketle.

M=0

olmak üzere;

K_1=2

,

K_2=5

,

K_3=4

olarak etiketlenir.

Dijkstra algoritmasının başlangıç adımı uyarınca komşu düğümlerin başlangıca olan uzaklıkları atanır.

2

Etiketi en küçük olan

K_1

(2) üzerinden komşularını güncelle.

K_2

için yeni etiket

\min(5, 2+2) = 4

olur.

K_4

için etiket

2+7 = 9

olur.

K_1

üzerinden geçmek,

K_2

'ye doğrudan gitmekten (5 > 4) daha kısadır.

3

Sıradaki en küçük etiketli düğüm

K_3

(4) üzerinden komşularını güncelle.

K_6

için etiket

4+3 = 7

olur.

K_5

için etiket

4+6 = 10

olur.

K_3

üzerinden geçilerek

K_6

ve

K_5

düğümlerine ilk tahmini en kısa mesafeler belirlenir.

4

Güncellenmiş

K_2

(4) üzerinden komşularını güncelle.

K_4

için yeni etiket

\min(9, 4+3) = 7

olur.

K_5

için etiket

\min(10, 4+8) = 10

olarak kalır.

K_2

üzerinden

K_4

'e ulaşmak (4+3=7), önceki güzergahtan (9) daha kısadır.

5

K_6

(7) ve

K_4

(7) üzerinden kalan bağlantıları ve hedefi (

H

) güncelle.

K_6

üzerinden

K_5

etiketi

\min(10, 7+1) = 8

olarak güncellenir.

K_6

üzerinden

H

etiketi

7+5=12

olur.

K_4

üzerinden

H

etiketi

7+4=11

olur.

K_6

'dan

K_5

'e olan 1 dakikalık kısa yol,

K_5

'in etiketini 10'dan 8'e düşürür. Bu adım algoritmanın kritik güncellemesidir.

6

Güncellenmiş

K_5

(8) üzerinden hedefi (

H

) son kez güncelle.

H

için nihai etiket

\min(11, 8+2) = 10

olarak bulunur.

K_5

üzerinden hedefe ulaşmak (

8+2=10

), diğer tüm alternatiflerden (

K_4

üzerinden 11,

K_6

üzerinden 12) daha kısadır.

Anahtar Kavram

Şebeke analizi kapsamında düğüm etiketlerinin iteratif olarak güncellenmesi ve en kısa yolun (Dijkstra algoritması) bulunması.

Soru 64Soru →

Yöneylem araştırmasında karmaşık sistemlerin optimizasyonu (örneğin en kısa yol, maksimum akış) şebeke (ağ) modelleri üzerinden gerçekleştirilir. Bu analizlerde düğüm, ayrıt, yol, çevrim ve ağaç gibi topolojik kavramların yapısal özellikleri çözüm algoritmalarının matematiksel altyapısını oluşturur.

Buna göre, şebeke modellerindeki temel kavramların özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Bağlantılı bir şebekeye ait herhangi bir yayılan ağaca (spanning tree), ağaç dışında kalan bir ayrıtın (kirişin) eklenmesi, sistemde tam olarak bir adet temel çevrim (fundamental cycle) oluşturur.

Yönlü bir şebekede başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olan tüm kapalı yürüyüşler (closed walks), hiçbir düğümün tekrar edilmediği basit birer yönlü çevrim (simple directed cycle) belirtmek zorundadır.

Şebeke üzerindeki aktarma düğümlerinin (transshipment nodes) akış dengesini sağlayabilmesi için, bu düğümlere giren ayrıt sayısı ile bu düğümlerden çıkan ayrıt sayısının topolojik olarak birbirine eşit olması gerekir.

Toplam

n

adet düğümden oluşan ve her düğüm çifti arasında bir bağlantı bulunan tam yönsüz şebekelerde (complete undirected networks), toplam ayrıt sayısı

n^2

formülü ile belirlenir.

Bir şebekede tanımlanan yönlü bir yol (directed path) üzerinde yer alan düğümler takip edildiğinde, ardışık bazı ayrıtların ana akış yönüne ters yönde yönlendirilmiş olması mümkündür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bağlantılı bir şebekeye ait herhangi bir yayılan ağaca (spanning tree), ağaç dışında kalan bir ayrıtın (kirişin) eklenmesi, sistemde tam olarak bir adet temel çevrim (fundamental cycle) oluşturur.

Cevap

Bağlantılı bir şebekeye ait yayılan ağaca ağaç dışı bir ayrıtın eklenmesiyle tam olarak bir adet temel çevrimin oluştuğunu belirten ifadedir.

Yayılan ağaç (spanning tree), bağlantılı bir şebekedeki tüm düğümleri birbirine bağlayan ancak içinde hiçbir çevrim barındırmayan alt şebekedir. Bu ağaçtaki herhangi iki düğüm arasında sadece tek bir basit yol bulunur. Bu nedenle, ağaçta yer almayan bir ayrıt (buna kiriş veya chord denir) ağaca eklendiğinde, bağladığı iki düğüm arasındaki mevcut ağaç yoluna alternatif bir bağlantı oluşturur ve bu iki yol birleşerek sistemde tam olarak bir adet kapalı çevrim (temel çevrim) meydana getirir. Bu mantık, Yöneylem Araştırmasında Atlama Taşı (Stepping-Stone) algoritması ve Ağ Simpleks (Network Simplex) yönteminde çözüm geliştirmek için kullanılan temel topolojik kuraldır.

Adım Adım Çözüm

1

Yayılan ağaç (spanning tree) kavramının temel topolojik özelliklerini analiz et.

Yayılan ağaç,

n

düğümlü bağlantılı bir şebekedeki tüm düğümleri kapsayan, tam olarak

n-1

ayrıttan oluşan ve kesinlikle çevrim (cycle) içermeyen alt grafiktir.

Topolojik analizde doğru ve yanlış ifadeleri ayırmak için temel tanımların net olarak bilinmesi gerekir.

2

Yayılan ağaca yeni bir ayrıt (kiriş) eklemenin etkisini değerlendir.

Ağaç halihazırda tüm düğümler arasında tek ve benzersiz bir yol (path) barındırdığından, herhangi yeni bir ayrıt eklendiğinde bu ayrıt, birleştirdiği iki düğüm arasındaki mevcut yol ile birleşerek tek bir kapalı döngü yaratır.

Bu özellik 'Temel Çevrim' (Fundamental Cycle) olarak adlandırılır ve doğrusal programlamada (örneğin ağ simpleks yönteminde) yeni değişkenin temel çözüme girmesi mantığını açıklar.

3

Diğer seçeneklerdeki kavram yanılgılarını belirle.

Yürüyüş ve basit çevrim tanımlarının karıştırıldığı, akış kısıtlarında miktar yerine ayrıt sayısına odaklanıldığı, ayrıt sayısı formülünün yanlış verildiği ve yönlü yol tanımında kural ihlali yapıldığı tespit edilmiştir.

Kesinlikle doğru olan tek yargının matematiksel olarak kanıtlanması.

Anahtar Kavram

Şebeke Topolojisi: Yayılan Ağaç, Temel Çevrim ve Ağ Modelleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 65Soru →

Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı tarafından yürütülen 'Bölgesel Yenilenebilir Enerji Santrali Kurulumu' projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve olağan süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncül Faaliyetler	Süre (Hafta)
A	-	4
B	A	6
C	A	5
D	B	7
E	B, C	8
F	C	4
G	D, E	5
H	F	6

Buna göre, CPM (Kritik Yol Yöntemi) kullanılarak yapılan şebeke analizi sonucunda aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

F faaliyetinin serbest bolluğu 4 haftadır.

Projenin en kısa tamamlanma süresi 23 haftadır.

Kritik yol A - B - E - G faaliyetlerinden oluşmaktadır.

C faaliyetinin toplam bolluğu 1 haftadır.

D faaliyetinin en geç başlama zamanı 11. haftadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: F faaliyetinin serbest bolluğu 4 haftadır.

Cevap

Yanlış olan ifade, F faaliyetinin serbest bolluğunun 4 hafta olduğunu belirten seçenektir. F'nin toplam bolluğu 4, serbest bolluğu 0'dır.

CPM ağında ileri ve geri hesaplamalar sonucunda F faaliyetinin en erken bitiş zamanı (EF) 13, takip eden H faaliyetinin en erken başlama zamanı (ES) 13 olarak bulunur. Serbest bolluk, bir faaliyetin kendinden sonra gelen faaliyetlerin başlama zamanını etkilemeden ne kadar geciktirilebileceğini gösterir (ES_Takipçi - EF_Mevcut). Dolayısıyla F'nin serbest bolluğu

13 - 13 = 0

haftadır. Toplam bolluğu (LF - EF = 17 - 13) 4 hafta olmasına rağmen serbest bolluğu sıfırdır. Bu yüzden verilen ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

İleriye doğru hesaplama (Forward pass) ile her faaliyetin en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanları hesaplanır.

A(0,4), B(4,10), C(4,9), D(10,17), E(10,18), F(9,13), G(18,23), H(13,19). Projenin tamamlanma süresi maksimum EF olan 23 haftadır.

Projenin en kısa tamamlanma süresini ve her bir faaliyetin olası en erken bitişini belirlemek için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward pass) ile her faaliyetin en geç bitiş (LF) ve en geç başlama (LS) zamanları hesaplanır.

Bitiş faaliyetlerinden (G ve H) başlanarak; G(18,23), H(17,23), D(11,18), E(10,18), F(13,17), B(4,10), C(5,10), A(0,4) değerleri elde edilir.

Kritik yolu tespit edebilmek ve faaliyetlerin geciktirilebilecekleri süreleri (bollukları) bulmak için.

3

Faaliyetlerin toplam ve serbest bollukları ile kritik yol belirlenir.

A, B, E ve G faaliyetlerinin toplam bolluğu sıfırdır (Kritik yol). C'nin toplam bolluğu 1 hafta, D'nin en geç başlama zamanı 11. haftadır. F'nin toplam bolluğu (LS-ES = 13-9) 4 hafta iken, serbest bolluğu (H'nin ES'si - F'nin EF'si = 13-13) 0 haftadır.

Soruda verilen seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu istatistiksel ve ağ mantığıyla teyit etmek için.

Anahtar Kavram

İleri ve Geriye Doğru Hesaplama ile Toplam ve Serbest Bolluk Ayrımı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 66Soru →

İl Afet ve Acil Durum (AFAD) koordinasyon merkezinden ( $A$ düğümü), afet bölgesindeki bir toplanma alanına ( $G$ düğümü) özel donanımlı bir arama kurtarma aracının en hızlı şekilde ulaşması hedeflenmektedir. Güzergâh üzerindeki yolların mevcut durumu incelenmiş ve düğümler arası tahmini geçiş süreleri (dakika cinsinden) aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Başlangıç	Bitiş	Süre (dk)
$A$	$B$	$12$
$A$	$C$	$15$
$B$	$D$	$19$
$B$	$E$	$20$
$C$	$D$	$10$
$C$	$F$	$25$
$D$	$E$	$5$
$D$	$F$	$14$
$E$	$G$	$14$
$F$	$G$	$9$

Buna göre, arama kurtarma aracının $A$ düğümünden $G$ düğümüne ulaşabileceği en kısa süre kaç dakikadır?

46

54

44

48

50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 44

Cevap

Dijkstra algoritması uygulandığında en kısa rotanın

A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow G

olduğu ve sürenin 44 dakika olduğu görülür.

Düğüm etiketleri sırasıyla hesaplandığında;

A(0)

,

B(12)

,

C(15)

olarak bulunur.

D

düğümüne en kısa ulaşım

C

üzerinden

15+10=25

dakikadır.

E

düğümüne en kısa ulaşım

D

üzerinden

25+5=30

dakikadır.

F

düğümüne en kısa ulaşım

D

üzerinden

25+14=39

dakikadır.

G

hedefine ise

E

(

30+14=44

) ve

F

(

39+9=48

) üzerinden gelinebilmektedir. Minimum süre 44 dakikadır ve bu süreye

A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow G

rotası ile ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç düğümünün etiketlenmesi ve komşularının hesaplanması.

A

düğümünün etiketi

0

olur.

B

düğümüne

0+12=12

,

C

düğümüne

0+15=15

sürede ulaşılır.

Dijkstra algoritmasında başlangıç noktası

0

alır ve doğrudan gidilebilen ilk düğümlerin etiketleri başlangıç ağırlıklarıyla belirlenir.

2

D

düğümü için en kısa geliş yolunun belirlenmesi.

B

üzerinden geliş:

12 + 19 = 31

.

C

üzerinden geliş:

15 + 10 = 25

. Küçük olan seçilir,

D

'nin etiketi

25

olarak güncellenir.

Bir düğüme gelen alternatif yollar karşılaştırılarak en küçük değere sahip olan kalıcı etiket olarak seçilir.

3

E

ve

F

düğümleri için minimum etiketlerin hesaplanması.

E

için:

B

'den

12+20=32

;

D

'den

25+5=30

.

E

'nin etiketi

30

olur.

F

için:

C

'den

15+25=40

;

D

'den

25+14=39

.

F

'nin etiketi

39

olur.

Ağ üzerindeki ilerleyişte her düğüm, kendisine gelen tüm okların başlangıç etiketleri ve dal ağırlıkları toplanarak optimize edilir.

4

Hedef düğüm olan

G

için son hesaplamanın yapılması.

E

'den geliş:

30 + 14 = 44

.

F

'den geliş:

39 + 9 = 48

. Minimum değer

44

olarak bulunur.

Hedef düğüme ulaşan tüm alternatif yollar içindeki minimum süre, şebekenin en kısa yolunu (optimum çözümü) verir.

Anahtar Kavram

Dijkstra algoritması kullanılarak düğüm etiketlerinin ileriye doğru güncellenmesi ve en kısa yolun tespiti.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 67Soru →

Bir kamu kurumunun Ulusal Sağlık Veri Ağı projesi kapsamında, Ana Veri Merkezi'nden (Düğüm 1), bölgesel veri merkezlerine (Düğüm 4 ve Düğüm 5) şifrelenmiş günlük sağlık verisi aktarımı yapılacaktır. Şebekede yer alan 2 ve 3 numaralı düğümler ise yalnızca yönlendirici (router) görevi görmekte olup veri üretmez veya tüketmezler.

Düğümlerdeki arz ve talep miktarları (Terabayt/gün) şu şekildedir:
- Düğüm 1 (Ana Veri Merkezi): 30 TB veri üretiyor (Arz)
- Düğüm 4 (1. Bölge): 10 TB veriye ihtiyaç duyuyor (Talep)
- Düğüm 5 (2. Bölge): 20 TB veriye ihtiyaç duyuyor (Talep)

Şebeke üzerindeki bağlantıların günlük veri aktarım kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) ve 1 Terabayt verinin aktarım maliyetleri ( $c_{ij}$ Bin TL) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

| Bağlantı ( $i \rightarrow j$ ) | Kapasite ( $u_{ij}$ ) | Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )
| :---: | :---: | :---: |
| $1 \rightarrow 2$ | 20 | 2 |
| $1 \rightarrow 3$ | 25 | 5 |
| $2 \rightarrow 3$ | 15 | 1 |
| $2 \rightarrow 4$ | 15 | 6 |
| $3 \rightarrow 4$ | 10 | 3 |
| $3 \rightarrow 5$ | 20 | 4 |
| $4 \rightarrow 5$ | 10 | 2 |

Buna göre, Ana Veri Merkezi'ndeki 30 TB verinin tamamının talep merkezlerine ulaştırılmasını sağlayan optimum minimum maliyetli akış planında toplam aktarım maliyeti kaç Bin TL'dir?

200

230

240

250

260

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 230

Cevap

Sistemin günlük veri aktarımını en düşük maliyetle gerçekleştirebilmesi için hesaplanan minimum toplam aktarım maliyeti 230 Bin TL'dir.

Verilen şebekede arz-talep ve kapasite kısıtlarını sağlayan optimum akış dağılımı şu şekildedir:

x_{12}=20, x_{13}=10, x_{23}=15, x_{24}=5, x_{34}=5, x_{35}=20, x_{45}=0

. Bu değerler birim maliyetlerle çarpılıp toplandığında minimum maliyet olan 230 değerine ulaşılır. Herhangi bir alternatif rota üzerinden akış kaydırmak, ya kapasiteyi aşar ya da toplam maliyeti artırır.

Adım Adım Çözüm

1

Arz ve talep dengesini kontrol etme.

Toplam arz = 30 TB (Düğüm 1). Toplam talep = 10 TB (Düğüm 4) + 20 TB (Düğüm 5) = 30 TB. Şebeke dengelidir.

Minimum maliyetli akış problemlerinde (eğer dışarıdan bir yapay düğüm eklenmemişse) toplam giren akışın toplam çıkan akışa eşit olması gerekir.

2

Düğüm 1'den çıkan veriyi en düşük maliyetli hatlara kapasiteleri dahilinde yönlendirme.

1 \rightarrow 2

hattının maliyeti 2,

1 \rightarrow 3

hattının maliyeti 5'tir. Maksimum akışı ucuz olan

1 \rightarrow 2

hattına veririz:

x_{12} = 20

(kapasite doldu). Kalan 10 TB veriyi zorunlu olarak

1 \rightarrow 3

hattına veririz:

x_{13} = 10

.

Kaynaktan çıkan verinin mümkün olan en ucuz rotalardan sisteme giriş yapması toplam maliyeti minimize eder.

3

Düğüm 2'deki 20 TB veriyi yönlendirme.

Düğüm 2'den çıkış yolları:

2 \rightarrow 3

(maliyet 1) ve

2 \rightarrow 4

(maliyet 6). En ucuz olan

2 \rightarrow 3

hattına kapasitesi kadar (

x_{23} = 15

) yönlendiririz. Kalan 5 TB veriyi

2 \rightarrow 4

hattına yönlendiririz (

x_{24} = 5

).

Ara düğümlerde biriken akış, kapasite kısıtları ihlal edilmeden en düşük maliyetli rotalara aktarılmalıdır.

4

Düğüm 3'teki veriyi yönlendirme ve talep düğümlerinin ihtiyaçlarını karşılama.

Düğüm 3'e Düğüm 1'den 10 TB, Düğüm 2'den 15 TB olmak üzere toplam 25 TB veri gelir. Düğüm 4'ün toplam ihtiyacı 10 TB olup, 5 TB'ını Düğüm 2'den almıştır; bu yüzden

3 \rightarrow 4

hattından sadece 5 TB gönderilir (

x_{34} = 5

). Düğüm 3'te kalan 20 TB veri

3 \rightarrow 5

hattından gönderilir (

x_{35} = 20

). Düğüm 5 talebini tam karşılamıştır.

Yönlendirici düğümlerde giren akış çıkan akışa eşit olmalı ve nihai talep düğümlerinin eksikleri tam olarak kapatılmalıdır.

5

Toplam optimum maliyeti hesaplama.

Maliyet =

(20 \times 2) + (10 \times 5) + (15 \times 1) + (5 \times 6) + (5 \times 3) + (20 \times 4) + (0 \times 2) = 40 + 50 + 15 + 30 + 15 + 80 = 230

Bin TL.

Bulunan bu temel uygun çözümde kalıntı (residual) şebekede negatif maliyetli bir çevrim bulunmamaktadır, dolayısıyla çözüm optimumdur.

Anahtar Kavram

Minimum Maliyetli Akış Problemlerinde Kapasite Kısıtlı Yönlendirme

Soru 68Soru →

Yöneylem araştırmasında şebeke (ağ) modelleri, sistemlerin yapısal özelliklerini analiz etmek için kullanılan grafiksel araçlardır. $n$ adet düğümden ( $node$ ) oluşan bir şebekede, her bir düğüm çiftinin birbirine doğrudan bir ayrıt ( $arc$ ) ile bağlandığı ve her düğümün diğer tüm düğümlere erişiminin doğrudan sağlandığı şebeke yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

Tam şebeke

Bağlantılı şebeke

Ağaç

İki parçalı şebeke

Düzlemsel şebeke

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tam şebeke

Cevap

Her düğüm çiftinin birbirine doğrudan bağlı olduğu yapı tam şebekedir.

Tam şebeke kavramı, bir şebekedeki her bir düğümün şebekedeki diğer tüm düğümlere doğrudan bir ayrıt (yay) ile bağlı olduğu durumu ifade eder. Bu durumda

n

düğümlü bir şebekede hiçbir ilave ayrıt eklenemez hale gelinmiştir ve bağlantı düzeyi maksimumdur.

Adım Adım Çözüm

1

Şebekedeki düğüm bağlantı kısıtını analiz etme

Düğümlerin her birinin diğer tüm düğümlere doğrudan (aracı düğüm olmadan) bağlı olması gerektiği belirlendi.

Soruda her düğüm çiftinin doğrudan bir ayrıtla bağlanması şartı aranmaktadır.

2

Matematiksel karşılığı kontrol etme

Böyle bir yapıda ayrıt sayısı yönsüz şebekeler için

\frac{n(n-1)}{2}

olur.

Tam şebeke tanımı gereği tüm olası ikili kombinasyonların bağlantılı olduğu durumdur.

3

Kavramsal eşleştirme yapma

Tanım 'Tam Şebeke' (Complete Network) kavramına karşılık gelmektedir.

Bağlantılı şebeke veya ağaç gibi yapılar daha az ayrıt ile sürekliliği sağlayabilirken, tam şebeke maksimum bağlantısallığı ifade eder.

Anahtar Kavram

Tam Şebeke (Complete Network) Tanımı

Daha Fazla Pratik

Düğümler arası 'yol' (path) ve 'zincir' (chain) arasındaki farkları inceleyerek şebeke yönlülüğünün bu kavramları nasıl etkilediğini araştırın.

Tahmini Süre:50s

Soru 69Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "Kamu Veri Merkezi Altyapı Modernizasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	$4$
B	A	$6$
C	A	$3$
D	B	$5$
E	B, C	$4$
F	D, E	$3$

Buna göre, projenin toplam tamamlanma süresi ve $E$ faaliyetinin toplam bolluğu (total float) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

18

gün;

0

gün

18

gün;

1

gün

17

gün;

0

gün

18

gün;

4

gün

15

gün;

2

gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18$ gün; $1$ gün

Cevap

Projenin toplam süresi

18

gün ve

E

faaliyetinin toplam bolluğu

1

gündür.

Projenin kritik yolu

A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow F

güzergahıdır ve toplam süresi

4+6+5+3=18

gündür.

E

faaliyetinin en erken başlama zamanı

B

ve

C

faaliyetlerinin bitişine bağlı olup

10

. gündür.

F

faaliyetinin en geç başlama zamanı

15

. gün olduğundan,

E

faaliyetinin en geç bitişi

15

ve en geç başlama zamanı

11

(

15-4

) olur. Bu durumda bolluk

11-10=1

gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) ile En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitirme (EF) zamanlarını belirle.

A:

[0,4]

, B:

[4,10]

, C:

[4,7]

, D:

[10,15]

, E:

[max(10, 7), 10+4=14]

, F:

[max(15, 14), 15+3=18]

.

Proje süresini ve her faaliyetin mümkün olan en erken bitişini bulmak için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) ile En Geç Başlama (LS) ve En Geç Bitirme (LF) zamanlarını belirle.

F:

[15,18]

, D:

[10,15]

, E:

[11,15]

, B:

[min(10, 11)-6=4, 10]

, C:

[11-3=8, 11]

, A:

[4-4=0, 4]

.

Kritik yolu ve faaliyetlerin esneklik paylarını (bolluklarını) belirlemek için.

3

E faaliyeti için toplam bolluğu (Total Float = LS - ES) hesapla.

11 - 10 = 1

gün.

E

faaliyetinin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini bulmak için.

Anahtar Kavram

CPM (Kritik Yol Yöntemi) ağ analizinde, bir faaliyetin toplam bolluğu, o faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken başlama zamanı arasındaki farktır.

Soru 70Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "Veri Yönetişim Sistemi Entegrasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Tanım	Öncel Faaliyet	Süre (Hafta)
A	Sistem Analizi	-	$4$
B	Veri Temizleme	-	$3$
C	Veri Mimarisi Tasarımı	A	$5$
D	Veritabanı Geliştirme	A, B	$6$
E	Entegrasyon Testleri	C, D	$4$
F	Yayına Alma	E	$2$

Buna göre, B faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç haftadır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

B faaliyetinin toplam bolluk süresi

1

haftadır.

Yapılan ileri ve geri yönlü hesaplamalar sonucunda, projenin toplam süresinin

16

hafta olduğu görülmektedir. B faaliyetinin en erken başlama zamanı

0

, en geç başlama zamanı ise

1

haftadır. Aradaki

1

haftalık fark, bu faaliyetin sahip olduğu toplam bolluk süresidir.

Adım Adım Çözüm

1

İleri yönlü hesaplama ile Erken Başlama (EB) ve Erken Bitiş (ET) zamanlarını bulun.

EB(A)=0, ET(A)=4

;

EB(B)=0, ET(B)=3

;

EB(C)=4, ET(C)=9

;

EB(D)=\max(ET(A), ET(B))=\max(4, 3)=4, ET(D)=10

;

EB(E)=\max(9, 10)=10, ET(E)=14

;

EB(F)=14, ET(F)=16

.

Projenin toplam süresini ve faaliyetlerin erken zamanlarını belirlemek için gereklidir.

2

Kritik yolu ve toplam proje süresini belirleyin.

Toplam süre

16

haftadır. Kritik yol A-D-E-F güzergahıdır.

Bolluk hesaplamaları için referans süreyi belirler.

3

Geri yönlü hesaplama ile Geç Bitiş (GB) ve Geç Başlama (GS) zamanlarını bulun.

GB(F)=16, GS(F)=14

;

GB(E)=14, GS(E)=10

;

GB(D)=10, GS(D)=4

;

GB(C)=10, GS(C)=5

;

GB(B)=GS(D)=4, GS(B)=1

.

Her bir faaliyetin proje süresini aksatmadan tamamlanabileceği en geç zamanları bulmak için gereklidir.

4

B faaliyeti için toplam bolluğu (

TB = GS - EB

veya

GB - ET

) hesaplayın.

TB(B) = 1 - 0 = 1

veya

4 - 3 = 1

.

İstenen bolluk süresine ulaşmak için son adımdır.

Anahtar Kavram

CPM (Kritik Yol Yöntemi) Toplam Bolluk Hesaplaması

İpuçları

1

Önce projenin toplam süresini belirlemek için ileri yönlü hesaplama yapın.

2

D faaliyetinin başlaması için hem A hem de B'nin bitmesi gerektiğini unutmayın (maksimum kuralı).

3

B faaliyetinin en geç bitiş zamanı, D faaliyetinin en geç başlama zamanına eşittir.

Daha Fazla Pratik

C faaliyetinin de toplam bolluğunu hesaplayarak B faaliyeti ile karşılaştırınız.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 71Soru →

Bir kamu lojistik şebekesinde $1$ numaralı düğümden (arz kaynağı) $4$ numaralı düğüme (talep merkezi) toplam $12$ birimlik ürün sevkiyatı planlanmaktadır. Şebekedeki düğümler arasındaki birim taşıma maliyetleri ( $c_{ij}$ ) ve yay kapasiteleri ( $u_{ij}$ ) aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Yay $(i, j)$	Birim Maliyet ( $c_{ij}$ )	Kapasite ( $u_{ij}$ )
$(1, 2)$	$3$	$10$
$(1, 3)$	$5$	$8$
$(2, 3)$	$1$	$5$
$(2, 4)$	$7$	$10$
$(3, 4)$	$4$	$10$

Bu şebeke modelinde toplam arzın tamamının karşılanması koşuluyla gerçekleştirilebilecek minimum toplam akış maliyeti kaç birimdir?

105

96

108

112

115

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Şebeke üzerindeki kapasite kısıtları altında minimum maliyetli akış dağıtımı yapıldığında toplam maliyet 105 birimdir.

Minimum maliyetli akış probleminde, kapasite kısıtları ihlal edilmeden en düşük birim maliyetli yollara öncelik verilir. Yapılan hesaplamada, 8 birim maliyetli yola 5 birim, 9 birim maliyetli yola 5 birim ve 10 birim maliyetli yola 2 birim akış atanarak toplam 105 birimlik optimum maliyete ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Olası yolların ve birim maliyetlerin belirlenmesi

Yol 1:

1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4

(Maliyet:

3+1+4=8

), Yol 2:

1 \rightarrow 3 \rightarrow 4

(Maliyet:

5+4=9

), Yol 3:

1 \rightarrow 2 \rightarrow 4

(Maliyet:

3+7=10

).

Minimum maliyetli akış için en ucuz yolları önceliklendirmek gerekir.

2

En ucuz yol (Yol 1) için akış ataması

Kapasite:

\min(u_{12}, u_{23}, u_{34}) = \min(10, 5, 10) = 5

birim. Akış:

5

birim, Maliyet:

5 \times 8 = 40

.

En düşük maliyetli yola kapasitesi kadar akış gönderilir.

3

İkinci en ucuz yol (Yol 2) için kalan kapasite üzerinden akış ataması

Kalan arz:

12 - 5 = 7

. Yol 2 kapasitesi:

\min(u_{13}, \text{kalan } u_{34}) = \min(8, 10-5) = 5

birim. Akış:

5

birim, Maliyet:

5 \times 9 = 45

.

Yaylar üzerindeki kalan kapasiteler kontrol edilerek akış devam ettirilir.

4

Kalan arzın uygun yola (Yol 3) atanması

Kalan arz:

7 - 5 = 2

. Yol 3 uygunluğu:

\min(\text{kalan } u_{12}, u_{24}) = \min(10-5, 10) = 5

. Akış:

2

birim, Maliyet:

2 \times 10 = 20

.

Tüm arzın hedefe ulaşması sağlanır.

5

Toplam maliyetin hesaplanması

Toplam Maliyet =

40 + 45 + 20 = 105

.

Tüm akışların maliyetleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Minimum maliyetli akış problemleri, hem kapasite kısıtlarını hem de birim taşıma maliyetlerini optimize ederek toplam maliyeti minimize etmeyi amaçlar.

Soru 72Soru →

Bir afet yönetimi organizasyonunda, afet bölgesine çadır ulaştırmak için kurulan tedarik zinciri şebekesinde düğümler ve aralarındaki taşıma hatları (yaylar) modellenmiştir. $1$ numaralı düğüm $20$ tonluk arza sahip ana depodur. $4$ ve $5$ numaralı düğümler ise sırasıyla $8$ ton ve $12$ ton çadır talebi olan afet bölgeleridir. $2$ ve $3$ numaralı düğümler sadece aktarma merkezi olarak kullanılmakta olup arz veya talepleri yoktur.

Şebekedeki yaylara ait kapasite (ton) ve birim taşıma maliyeti (TL/ton) bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Yay (Başlangıç $\rightarrow$ Bitiş)	Kapasite (ton)	Birim Maliyet (TL/ton)
$1 \rightarrow 2$	$15$	$2$
$1 \rightarrow 3$	$10$	$5$
$2 \rightarrow 3$	$5$	$1$
$2 \rightarrow 4$	$10$	$4$
$3 \rightarrow 4$	$10$	$2$
$3 \rightarrow 5$	$15$	$3$
$4 \rightarrow 5$	$5$	$1$

Buna göre, şebekedeki kapasite kısıtları ihlal edilmeden tüm taleplerin karşılanmasını sağlayan en düşük maliyetli akış planında (minimum maliyetli akış problemi) toplam taşıma maliyeti kaç TL olur?

112

124

132

134

142

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 132

Cevap

Toplam taşıma maliyeti 132 TL'dir.

Optimal akış planı, şebekedeki kapasite darboğazları (bottlenecks) dikkate alınarak mantıksal bir çıkarımla elde edilebilir. Düğüm 1'den çıkması gereken 20 ton arz, zorunlu olarak kapasitesi 15 ton olan en ucuz hatta (1->2) ve kalan 5 ton mecburen (1->3) hattına yönlendirilir. Düğüm 2'ye ulaşan 15 ton, kapasitesi 5 olan (2->3) hattını doldurur ve artan 10 ton mecburen (2->4) hattından akar. Düğüm 4 kendisine gelen 10 tonun 8 tonunu kullanır, kalan 2 tonu mecburen (4->5) hattından iletir. Düğüm 3'te biriken 10 ton ise Düğüm 5'in kalan 10 tonluk ihtiyacını (3->5) hattı üzerinden tam olarak kapatır. Tüm bu kapasite kaynaklı zorunlu atamaların maliyetleri hesaplandığında ulaşılan tek optimal çözüm 132 TL'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Düğüm 1'den çıkması gereken toplam arzın darboğaz analizini yapmak.

Düğüm 1'den çıkacak 20 ton arz için

(1 \rightarrow 2)

yayından 15 ton,

(1 \rightarrow 3)

yayından 5 ton gönderilir.

(1 \rightarrow 2)

yayının kapasitesi 15 ton ile sınırlı olduğundan, kalan 5 tonluk arz mecburen diğer alternatif olan

(1 \rightarrow 3)

yayına aktarılmak zorundadır.

2

Düğüm 2'ye ulaşan 15 tonluk akışın yönlendirilmesi.

(2 \rightarrow 3)

yayından 5 ton,

(2 \rightarrow 4)

yayından 10 ton akış gerçekleşir.

Düğüm 2'den çıkışta en ucuz yol olan

(2 \rightarrow 3)

yayının maliyeti 1 TL'dir ancak kapasitesi 5 tondur. Tam kapasite kullanıldıktan sonra kalan 10 ton, mecburen

(2 \rightarrow 4)

yayından (maliyet 4 TL) gönderilir.

3

Düğüm 4'teki talep karşılaması ve kalan akışın yönlendirilmesi.

Düğüm 4 talebini (8 ton) karşılar ve kalan 2 tonu

(4 \rightarrow 5)

yayından Düğüm 5'e gönderir.

Düğüm 2'den Düğüm 4'e ulaşan 10 tonluk çadırın 8 tonu buradaki ihtiyacı giderir. Artan 2 tonun gidebileceği tek yön, kapasitesi 5 ton olan

(4 \rightarrow 5)

yayıdır.

4

Düğüm 3'teki toplam birikimin Düğüm 5'in kalan talebini karşılaması.

(3 \rightarrow 5)

yayı üzerinden 10 tonluk akış gerçekleştirilir.

Düğüm 3'e Düğüm 1'den 5 ton, Düğüm 2'den 5 ton olmak üzere toplam 10 ton gelmiştir. Düğüm 5'in toplam 12 tonluk talebinin 2 tonu Düğüm 4'ten karşılanmıştır, bu nedenle tam olarak 10 ton açığı vardır. Bu açık

(3 \rightarrow 5)

yayı ile kapatılır.

5

Zorunlu rotalar üzerinden toplam maliyetin hesaplanması.

Toplam Maliyet =

132

TL olarak bulunur.

Belirlenen akışlar birim maliyetlerle çarpılır:

(15 \times 2) + (5 \times 5) + (5 \times 1) + (10 \times 4) + (10 \times 3) + (2 \times 1) = 30 + 25 + 5 + 40 + 30 + 2 = 132

TL.

Anahtar Kavram

Minimum Maliyetli Akış Problemlerinde Kapasite Darboğazları

Alternatif Yöntem

Problemi ardışık en kısa yollar (Successive Shortest Path) algoritması ile çözerek, her adımda arz düğümünden talep düğümlerine artık (residual) kapasiteleri olan en kısa rotaları bularak da aynı 132 TL sonucuna ulaşabilirsiniz.

Soru 73Soru →

Uluslararası bir rüzgar enerjisi santrali (RES) kurulum projesinde, türbinlerin şebeke entegrasyonuna ait kritik yol üzerinde bulunan X, Y ve Z test aşamalarının süre tahminleri (gün olarak) aşağıda verilmiştir:

Aşama	İyimser Zaman (a)	En Olası Zaman (m)	Kötümser Zaman (b)
X	3	6	9
Y	1	4	13
Z	2	?	14

Projenin 27 gün veya daha kısa sürede tamamlanma olasılığı %97,72 olarak hesaplanmıştır.

Kritik yol üzerindeki aşama sürelerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayımıyla ve standart normal dağılım tablosuna göre $P(Z \leq 2) = 0,9772$ olduğu bilindiğine göre, Z aşamasının en olası ( $m$ ) tamamlanma süresi kaç gündür?

5

10

11

20

24

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Z aşamasının en olası tamamlanma süresi 11 gündür.

Doğru çözüme ulaşmak için sondan başa doğru tümevarım uygulanmalıdır. Öncelikle faaliyetlerin varyansları bulunarak (

\sigma_X^2=1

,

\sigma_Y^2=4

,

\sigma_Z^2=4

) kritik yolun toplam varyansı (9) ve standart sapması (3) elde edilir. İkinci adımda, %97,72'lik başarı olasılığının Z=2 noktasına karşılık gelmesi kullanılarak

Z = \frac{T_s - T_e}{\sigma}

formülünden projenin beklenen süresi bulunur (

2 = \frac{27 - T_e}{3} \Rightarrow T_e = 21

). Daha sonra X ve Y faaliyetlerinin beklenen süreleri hesaplanır (

t_{e,X}=6

ve

t_{e,Y}=5

). Projenin toplam beklenen süresinden bunlar çıkarıldığında Z faaliyetinin beklenen süresine ulaşılır (

21 - 11 = 10

). Son olarak,

10 = \frac{a+4m+b}{6} \Rightarrow 10 = \frac{2+4m+14}{6}

eşitliğinden Z faaliyeti için en olası zaman (

m

) 11 gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Aşamaların varyanslarını hesaplayıp kritik yolun (projenin) standart sapmasını bulmak

\sigma_X^2 = (\frac{9-3}{6})^2 = 1

,

\sigma_Y^2 = (\frac{13-1}{6})^2 = 4

,

\sigma_Z^2 = (\frac{14-2}{6})^2 = 4 \Rightarrow \sigma_{proje}^2 = 9 \Rightarrow \sigma = 3

Projenin olasılık hesabında kullanılacak standart sapmayı belirlemek için bağımsız faaliyetlerin varyanslarının toplanması gerekir.

2

Verilen olasılık değeri üzerinden Z-skoru formülü ile projenin beklenen tamamlanma süresini (

T_e

) hesaplamak

Z = 2 \Rightarrow 2 = \frac{27 - T_e}{3} \Rightarrow 27 - T_e = 6 \Rightarrow T_e = 21

gün

%97,72 olasılık Z=2 değerine karşılık geldiği için standartlaştırma formülü kullanılarak projeden beklenen süreye (

T_e

) geri dönülür.

3

X ve Y aşamalarının beklenen sürelerini (

t_e

) bularak Z aşamasının beklenen süresini (

t_{e,Z}

) elde etmek

t_{e,X} = \frac{3+24+9}{6} = 6

,

t_{e,Y} = \frac{1+16+13}{6} = 5 \Rightarrow 21 = 6 + 5 + t_{e,Z} \Rightarrow t_{e,Z} = 10

gün

Projenin toplam beklenen süresi, kritik yoldaki tüm faaliyetlerin beklenen süreleri toplamına eşittir.

4

Z aşamasının beklenen süresinden yola çıkarak en olası zamanı (

m

) hesaplamak

10 = \frac{2 + 4m + 14}{6} \Rightarrow 60 = 16 + 4m \Rightarrow 44 = 4m \Rightarrow m = 11

gün

Faaliyet beklenen süresi

t_e = \frac{a+4m+b}{6}

formülünden

m

değeri cebirsel olarak çekilir.

Anahtar Kavram

PERT Yönteminde Geriye Doğru Olasılık, Varyans ve Beklenen Süre Hesaplamaları

Şebeke Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar