CPM (Kritik Yol Yöntemi) Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülecek olan bilgi işlem altyapı projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri (gün cinsinden) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	5
B	-	4
C	A	6
D	A, B	4
E	C, D	5

Buna göre projenin toplam tamamlanma süresi ve D faaliyetinin toplam bolluğu (total float) aşağıdakilerden hangisidir?

16 gün; 2 gün

16 gün; 0 gün

14 gün; 2 gün

16 gün; 3 gün

15 gün; 1 gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16 gün; 2 gün

Cevap

Projenin toplam süresi 16 gün, D faaliyetinin toplam bolluğu 2 gündür.

Yapılan ileri geçiş hesaplamalarına göre projenin en uzun yolu olan A-C-E yolu 16 gün sürmektedir. D faaliyeti ise en erken 5. günde başlayıp 9. günde bitebilirken, kendisinden sonraki E faaliyetini geciktirmemesi için en geç 11. günde bitmelidir. Bu aradaki 2 günlük fark (11-9=2) D faaliyetinin bolluğudur.

Adım Adım Çözüm

1

İleri geçiş (Forward Pass) hesaplaması yapılarak en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanları bulunur.

ES(A)=0, EF(A)=5; ES(B)=0, EF(B)=4; ES(C)=5, EF(C)=11; ES(D)=max(5,4)=5, EF(D)=9; ES(E)=max(11,9)=11, EF(E)=16.

Projenin toplam süresini belirlemek için her faaliyetin tamamlanabileceği en erken zaman hesaplanmalıdır.

2

Geri geçiş (Backward Pass) hesaplaması yapılarak en geç başlama (LS) ve en geç bitiş (LF) zamanları bulunur.

LF(E)=16, LS(E)=11; LF(C)=11, LS(C)=5; LF(D)=11, LS(D)=7; LF(A)=min(5,7)=5, LS(A)=0; LF(B)=7, LS(B)=3.

Faaliyetlerin bolluk değerlerini bulmak için projenin bitiş tarihinden geriye doğru hesaplama yapılmalıdır.

3

D faaliyetinin toplam bolluğu hesaplanır.

Bolluk(D) = LS(D) - ES(D) = 7 - 5 = 2 gün (veya LF(D) - EF(D) = 11 - 9 = 2 gün).

Toplam bolluk, bir faaliyetin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi (CPM) ile proje süresi en uzun yol üzerinden belirlenir ve kritik yol üzerinde olmayan faaliyetlerin bolluk (float) değerleri mevcuttur.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Hafta)
A	-	$3$
B	-	$5$
C	A	$4$
D	A, B	$2$
E	C, D	$6$
F	B	$7$
G	E, F	$3$

Kritik Yol Yöntemi (CPM) prensiplerine göre, projenin tamamlanma süresi dikkate alındığında F faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç haftadır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

F faaliyetinin toplam bolluk süresi

1

haftadır.

İleri geçiş hesaplamalarına göre projenin kritik yolu A-C-E-G ve B-D-E-G güzergahları olup toplam süre

16

haftadır. F faaliyeti ise B'den sonra başlar (

ES=5

) ve

7

hafta sürer (

EF=12

). Proje bitişinden (

16

) G'nin süresi (

3

) çıkarıldığında F'nin en geç bitiş zamanı (

LF=13

) bulunur. Aradaki fark (

13-12=1

) toplam bolluğu verir.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama yaparak her faaliyetin en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanlarını belirleyin.

A: ES=

0

, EF=

3

; B: ES=

0

, EF=

5

; C: ES=

3

, EF=

7

; D: ES=Max(

3,5

)=

5

, EF=

7

; E: ES=Max(

7,7

)=

7

, EF=

13

; F: ES=

5

, EF=

12

; G: ES=Max(

13,12

)=

13

, EF=

16

.

Projenin toplam süresini ve faaliyetlerin erken zamanlarını bulmak için ileri geçiş gereklidir.

2

Projenin toplam süresini belirleyin ve geriye doğru hesaplama yaparak en geç başlama (LS) ve en geç bitiş (LF) zamanlarını bulun.

Proje süresi=

16

hafta. G: LF=

16

, LS=

13

; E: LF=

13

, LS=

7

; F: LF=

13

, LS=

6

.

Bolluk sürelerini hesaplayabilmek için faaliyetlerin en geç tamamlanabileceği zamanları bilmek gerekir.

3

F faaliyeti için toplam bolluk süresini (

TF = LS - ES

veya

TF = LF - EF

) hesaplayın.

TF_F = 6 - 5 = 1

veya

TF_F = 13 - 12 = 1

.

Toplam bolluk, bir faaliyetin proje bitiş süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Anahtar Kavram

CPM analizinde toplam bolluk (total float), bir faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken başlama zamanı arasındaki farktır.

Daha Fazla Pratik

Kritik yol üzerindeki faaliyetlerin bolluk sürelerinin neden daima sıfır olduğunu düşünerek ağ yapısını tekrar inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 3Soru →

Bir belediyenin park düzenleme projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	$4$
B	A	$3$
C	A	$5$
D	B, C	$2$
E	C	$4$
F	D, E	$1$

Buna göre, projenin tamamlanması için gereken en kısa süre (kritik yol süresi) kaç gündür?

10

12

13

14

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $14$

Cevap

Projenin kritik yol süresi

14

gündür.

Projenin kritik yolu, en uzun süreyi veren A-C-E-F güzergahıdır. Bu güzergahtaki sürelerin toplamı (

4+5+4+1

)

14

gün olarak hesaplanır ve projenin tamamlanabileceği en erken zamanı gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Ağ yapısındaki tüm yolların belirlenmesi

Yol 1: A-B-D-F; Yol 2: A-C-D-F; Yol 3: A-C-E-F

Kritik yol, başlangıçtan bitişe kadar olan en uzun süreli yoldur.

2

Belirlenen yolların sürelerinin hesaplanması

Yol 1:

4+3+2+1 = 10

; Yol 2:

4+5+2+1 = 12

; Yol 3:

4+5+4+1 = 14

Her bir güzergah üzerindeki faaliyet süreleri toplanır.

3

En uzun süreli yolun seçilmesi

Maksimum süre =

14

gün

Kritik yol süresi projenin tamamlanma süresini belirler.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi (CPM) ve Proje Süresi Hesaplama

Soru 4Soru →

Bir kamu kurumunda yürütülen "Devlet Arşivleri Dijitalleştirme Süreci" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve beklenen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
$A$	-	$3$
$B$	$A$	$2$
$C$	$A$	$4$
$D$	$B$	$5$
$E$	$B$	$3$
$F$	$C, D$	$6$
$G$	$E, F$	$2$

Kritik Yol Yöntemi (CPM) kullanılarak yapılan analize göre, $C$ faaliyetinin toplam bolluğu (total float) kaç gündür?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $3$

Cevap

C faaliyetinin toplam bolluğu 3 gündür.

Yapılan ağ analizinde projenin toplam süresi 18 gün olarak hesaplanmıştır. İleri hesaplamada C faaliyetinin en erken başlama zamanı 3, en erken bitiş zamanı ise 7'dir. Geri hesaplamada, F faaliyetinin en geç başlama zamanı olan 10 değeri, C faaliyetinin en geç bitiş zamanı olur. Buradan C faaliyetinin en geç başlama zamanı

10 - 4 = 6

olarak bulunur. Toplam bolluk ise

6 - 3 = 3

gündür.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak faaliyetlerin en erken başlama (

ES

) ve bitiş (

EF

) zamanlarını belirleyin.

A: [0, 3]

,

B: [3, 5]

,

C: [3, 7]

,

D: [5, 10]

,

E: [5, 8]

,

F: [10, 16]

,

G: [16, 18]

. Proje süresi:

18

gün.

Kritik yolu ve toplam süreyi bulmak için başlangıçtan sona doğru ilerlenir. Birden fazla önceli olan faaliyetlerde (örneğin

F

), önceki faaliyetlerin

EF

değerlerinden en büyüğü (

max

) seçilir (

F

için

max(7, 10) = 10

).

2

Geri doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak faaliyetlerin en geç başlama (

LS

) ve bitiş (

LF

) zamanlarını belirleyin.

G: [16, 18]

,

F: [10, 16]

,

E: [13, 16]

,

D: [5, 10]

,

C: [6, 10]

,

B: [3, 5]

,

A: [0, 3]

.

Bolluk değerlerini hesaplayabilmek için faaliyetlerin gecikmeye tahammül sürelerini belirlemek gerekir. Geriye dönerken bir faaliyetten sonra gelenlerin

LS

değerlerinden en küçüğü (

min

) seçilir.

3

C

faaliyeti için toplam bolluğu (

TF

) hesaplayın.

TF_C = LS_C - ES_C = 6 - 3 = 3

gün (veya

LF_C - EF_C = 10 - 7 = 3

gün).

Toplam bolluk, bir faaliyetin en erken başlama zamanı ile en geç başlama zamanı arasındaki farktır.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi'nde (CPM) toplam bolluk, bir faaliyetin projenin tamamlanma süresini geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini ifade eder.

Daha Fazla Pratik

Aynı ağ üzerinde serbest bolluk (free float) kavramını pekiştirmek için C faaliyetinin serbest bolluğunu hesaplamayı deneyin.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Bir kamu yatırım projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	5
B	-	4
C	A	3
D	A, B	6
E	C, D	2

Buna göre, projenin tamamlanma süresi ve $C$ faaliyetinin toplam bolluğu (TF) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

13 gün; 3 gün

13 gün; 0 gün

12 gün; 2 gün

11 gün; 1 gün

13 gün; 1 gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13 gün; 3 gün

Cevap

Projenin tamamlanma süresi 13 gün, C faaliyetinin toplam bolluğu ise 3 gündür.

Şebeke analizi yapıldığında kritik yolun A-D-E (5+6+2=13) olduğu görülür. C faaliyeti ise A'dan sonra başlar (5. gün) ancak bitişi E'nin başlangıcına (11. gün) kadar ertelenebilir. Bu durumda C'nin bolluğu

11 - (5+3) = 3

gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak en erken başlama (

ES

) ve bitiş (

EF

) zamanlarını belirleyin.

EF(A)=5

,

EF(B)=4

;

ES(C)=5, EF(C)=5+3=8

;

ES(D)=\max(EF(A), EF(B))=\max(5, 4)=5, EF(D)=5+6=11

;

ES(E)=\max(EF(C), EF(D))=\max(8, 11)=11, EF(E)=11+2=13

.

Proje süresini ve en erken zamanları bulmak için.

2

Geri doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak en geç başlama (

LS

) ve bitiş (

LF

) zamanlarını belirleyin.

LF(E)=13, LS(E)=11

;

LF(D)=11, LS(D)=5

;

LF(C)=11, LS(C)=8

;

LF(A)=\min(LS(C), LS(D))=5, LS(A)=0

;

LF(B)=LS(D)=5, LS(B)=1

.

Bolluk değerlerini hesaplamak için gereken en geç zamanları bulmak.

3

C

faaliyeti için toplam bolluğu (

TF

) hesaplayın.

TF(C) = LS(C) - ES(C) = 8 - 5 = 3

gün (veya

LF(C) - EF(C) = 11 - 8 = 3

).

Soruda istenen bolluk değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi'nde (CPM) faaliyetlerin zaman çizelgelemesi ve bolluk hesabı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 6Soru →

Bir kamu müzesinin restorasyon projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	4
B	A	6
C	A	5
D	B	3
E	B, C	7
F	D, E	2

Buna göre, projenin toplam tamamlanma süresi ve D faaliyetinin toplam bolluğu (total float) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

19

gün;

4

gün

19

gün;

0

gün

18

gün;

1

gün

15

gün;

0

gün

19

gün;

1

gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $19$ gün; $4$ gün

Cevap

Projenin toplam süresi

19

gün, D faaliyetinin toplam bolluğu ise

4

gündür.

Yapılan ileri hesaplama sonucunda projenin en uzun yolu olan A-B-E-F güzergahının

4+6+7+2 = 19

gün sürdüğü görülür. D faaliyetinin en erken başlama zamanı

10

, geriye hesaplamada bulunan en geç başlama zamanı ise

14

olduğu için toplam bolluk

14-10=4

gündür.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) yaparak en erken başlama (ES) ve bitiş (EF) zamanlarını belirleyin.

A: [0,4], B: [4,10], C: [4,9], D: [10,13], E: [max(10,9)=10, 17], F: [max(13,17)=17, 19].

Her faaliyetin ES değeri, kendisinden önceki faaliyetlerin EF değerlerinin en büyüğüdür.

2

Toplam proje süresini ve kritik yolu belirleyin.

Süre:

19

gün. Kritik Yol: A-B-E-F (

4+6+7+2=19

).

En uzun süren yol projenin tamamlanma süresini belirler.

3

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) yaparak en geç başlama (LS) ve bitiş (LF) zamanlarını belirleyin.

F: [17,19], E: [10,17], D: [14,17], C: [5,10], B: [min(14,10)=4, 10], A: [0,4].

Bolluk analizi yapabilmek için her faaliyetin en geç ne zaman bitebileceğini (LF) bilmek gerekir.

4

D faaliyetinin toplam bolluğunu (TF) hesaplayın.

TF_D = LS_D - ES_D = 14 - 10 = 4

gün.

Toplam bolluk, bir faaliyetin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini gösterir.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yöntemi (CPM), bir projedeki faaliyetlerin sürelerini ve öncelik ilişkilerini kullanarak toplam proje süresini ve faaliyetlerin esnekliklerini (bolluklarını) belirleyen deterministik bir ağ analiz tekniğidir.

Soru 7Soru →

Bir kamu yerleşkesinde yürütülen "Güvenlik Sistemleri Modernizasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	4
B	-	6
C	A	5
D	A, B	3
E	C	4
F	D	7
G	E, F	2

Bu verilere göre, C faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç gündür?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

C faaliyetinin toplam bolluk süresi 3 gündür.

Yapılan şebeke analizi sonucunda projenin kritik yolu B-D-F-G olarak belirlenmiş ve toplam proje süresi 18 gün olarak hesaplanmıştır. C faaliyetinin en erken bitiş zamanı 9. gün iken, kendisinden sonra gelen E faaliyetinin en geç başlama zamanı 12. gündür. Bu durumda C faaliyetinin en geç bitiş zamanı da 12. gün olmaktadır. Toplam bolluk, en geç bitiş ile en erken bitiş arasındaki fark (12 - 9) olarak hesaplandığında 3 gün sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama ile faaliyetlerin en erken başlama (ES) ve bitiş (EF) zamanları bulunur.

ES_A=0, EF_A=4; ES_B=0, EF_B=6; ES_C=4, EF_C=9; ES_D=max(4,6)=6, EF_D=9; ES_E=9, EF_E=13; ES_F=9, EF_F=16; ES_G=max(13,16)=16, EF_G=18.

Kritik yolu ve toplam proje süresini belirlemek için ileri hesaplama gereklidir.

2

Proje süresi ve kritik yol belirlenir.

Toplam süre 18 gündür. Kritik yol B-D-F-G şeklindedir (6+3+7+2=18).

Bolluk hesaplamaları en uzun yol olan kritik yol süresine göre yapılır.

3

Geriye doğru hesaplama ile C faaliyetinin en geç bitiş (LF) zamanı bulunur.

LF_G=18, LS_G=16; LF_F=16, LS_F=9; LF_E=16, LS_E=12; LF_C=LS_E=12.

Toplam bolluk LF - EF formülü ile hesaplanır.

4

C faaliyeti için toplam bolluk (TF) hesaplanır.

TF_C = LF_C - EF_C = 12 - 9 = 3 gün.

Bir faaliyetin toplam bolluğu, projenin tamamlanma süresini geciktirmeden sahip olabileceği maksimum gecikme payıdır.

Anahtar Kavram

CPM Toplam Bolluk (Total Float) Hesaplaması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Büyükşehir belediyesi tarafından yürütülen 'Akıllı Şehir Trafik Entegrasyon Sistemi' projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (gün) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet(ler)	Süre (Gün)
A	-	3
B	A	6
C	A	8
D	B	5
E	B	4
F	C, E	6
G	D, F	4
H	C	5
I	G, H	2

Buna göre, C faaliyetinin serbest bolluğu (SB) ile D faaliyetinin toplam bolluğu (TB) sırasıyla kaç gündür?

0

gün;

5

gün

2

gün;

5

gün

2

gün;

0

gün

0

gün;

0

gün

8

gün;

5

gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0$ gün; $5$ gün

Cevap

İstenilen değerler sırasıyla

0

gün ve

5

gün'dür.

C faaliyetinin Serbest Bolluğu hesaplanırken kendisini takip eden F ve H faaliyetlerine bakılır. C'nin erken bitişi 11'dir. H faaliyeti başka önceli olmadığı için erken başlama zamanı olarak doğrudan 11'i alır. Dolayısıyla C faaliyetinde yaşanacak en ufak bir gecikme H faaliyetinin erken başlamasını öteleyecektir. Bu nedenle C'nin Serbest Bolluğu (

11 - 11

) 0 gündür. D faaliyetinin Toplam Bolluğu ise, geç bitişi (19) ile erken bitişi (14) arasındaki fark alınarak (

19 - 14

) 5 gün olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm faaliyetlerin Erken Başlama (EB) ve Erken Bitiş (EBt) zamanlarını ileri doğru hesaplama ile bulma

A(EB:0, EBt:3), B(EB:3, EBt:9), C(EB:3, EBt:11), D(EB:9, EBt:14), E(EB:9, EBt:13), F(EB:13, EBt:19), G(EB:19, EBt:23), H(EB:11, EBt:16), I(EB:23, EBt:25)

Proje tamamlanma süresini ve faaliyetlerin en erken bitiş zamanlarını tespit etmek.

2

Kritik yolu belirleyip, geriye doğru hesaplama ile Geç Başlama (GB) ve Geç Bitiş (GBt) zamanlarını bulma

Proje 25 günde biter. I(GB:23, GBt:25), G(GB:19, GBt:23), H(GB:18, GBt:23), F(GB:13, GBt:19), D(GB:14, GBt:19), E(GB:9, GBt:13), C(GB:5, GBt:13). Kritik yol: A-B-E-F-G-I.

Toplam bolluk (TB) hesaplaması için faaliyetlerin geç bitiş zamanlarına ihtiyaç vardır.

3

C faaliyetinin Serbest Bolluğunu (SB) hesaplama

C'yi takip eden faaliyetler F ve H'dir.

SB = \min(EB_{F}, EB_{H}) - EBt_{C}

. F'nin EB=13, H'nin EB=11, C'nin EBt=11'dir.

SB = \min(13, 11) - 11 = 11 - 11 = 0

gün.

Serbest bolluk, bir faaliyetin kendisini takip eden faaliyetlerin en erken başlama zamanlarını geciktirmeden kullanabileceği esneklik payıdır.

4

D faaliyetinin Toplam Bolluğunu (TB) hesaplama

D'nin geç bitişi (GBt) 19, erken bitişi (EBt) 14'tür.

TB = GBt - EBt = 19 - 14 = 5

gün.

Toplam bolluk, bir faaliyetin projenin genel tamamlanma süresini geciktirmeden kullanabileceği maksimum gecikme payıdır.

Anahtar Kavram

CPM Ağında Serbest ve Toplam Bolluk Analizi

Soru 9Soru →

Sağlık Bakanlığı tarafından planlanan bir ihtisas hastanesinin ek hizmet binası inşaatına ait iş paketleri, bu paketler arası öncelik ilişkileri ve öngörülen tamamlanma süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet Kodu	Faaliyet Adı	Öncel Faaliyetler	Süre (Hafta)
A	İhale Sürecinin Tamamlanması	-	3
B	Altyapı Hazırlıkları	A	4
C	İklimlendirme (HVAC) Siparişi	A	5
D	Zemin ve Duvar Kaplamaları	B	3
E	İklimlendirme Kurulumu	C	4
F	Elektrik ve Gaz Tesisatı	B, C	6
G	Tıbbi Ekipman Yerleşimi	D, F	2
H	Son Kontroller ve Ruhsat	E, G	2

Projenin zaman çizelgesi CPM (Kritik Yol Yöntemi) kullanılarak oluşturulacaktır.

Buna göre, "Altyapı Hazırlıkları" (B) faaliyetinin toplam bolluğu (TB) ve serbest bolluğu (SB) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

TB = 1 hafta, SB = 0 hafta

TB = 1 hafta, SB = 1 hafta

TB = 0 hafta, SB = 0 hafta

TB = 4 hafta, SB = 0 hafta

TB = 0 hafta, SB = 1 hafta

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: TB = 1 hafta, SB = 0 hafta

Cevap

B faaliyetinin Toplam Bolluğu (TB) 1 hafta, Serbest Bolluğu (SB) ise 0 haftadır.

Projenin ağ diyagramı çizildiğinde B faaliyetinin ardılları D ve F faaliyetleridir. B'nin en erken bitiş süresi (EF) 3+4=7 haftadır. B'yi izleyen D faaliyetinin en erken başlama süresi (ES) 7, F faaliyetinin en erken başlama süresi (ES) ise B ve C'nin bitiş sürelerinin maksimumu (max(7,8)) olan 8 haftadır. Geriye doğru hesaplamada, D'nin en geç başlama süresi (LS) 11, F'nin en geç başlama süresi (LS) 8 haftadır. Bu durumda B'nin en geç bitiş süresi (LF) ardıllarının minimum LS değeri olan 8'dir. Toplam Bolluk = LF - EF = 8 - 7 = 1 hafta bulunur. Serbest Bolluk ise ardılların ES değerlerinin minimumundan kendi EF değerinin çıkarılmasıyla bulunur: min(7, 8) - 7 = 0 hafta. Dolayısıyla doğru yanıt TB = 1, SB = 0'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm faaliyetler için ileri yönlü hesaplama yaparak En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitiş (EF) zamanlarını bul.

A(ES:0, EF:3), B(ES:3, EF:7), C(ES:3, EF:8), D(ES:7, EF:10), E(ES:8, EF:12), F(ES:8, EF:14), G(ES:14, EF:16), H(ES:16, EF:18). Proje 18 haftada tamamlanır.

Kritik yolu ve faaliyetlerin proje süresine etkisini belirlemek için ağ üzerindeki en erken gerçekleşme zamanları saptanmalıdır.

2

Proje bitiş süresinden (18) başlayarak geriye yönlü hesaplama yap ve En Geç Başlama (LS) ile En Geç Bitiş (LF) zamanlarını bul.

H(LF:18, LS:16), G(LF:16, LS:14), E(LF:16, LS:12), F(LF:14, LS:8), D(LF:14, LS:11). B'nin izleyenleri D ve F'dir. B'nin LF değeri = min(LS_D, LS_F) = min(11, 8) = 8'dir. LS_B = 8 - 4 = 4 olur.

Her bir faaliyetin projeyi geciktirmeden başlayabileceği ve bitebileceği en son zamanları bulmak bolluk hesaplaması için zorunludur.

3

B faaliyeti için Toplam Bolluk (TB) ve Serbest Bolluk (SB) değerlerini formüllerle hesapla.

TB = LF_B - EF_B = 8 - 7 = 1 hafta. SB = min(ES_D, ES_F) - EF_B = min(7, 8) - 7 = 7 - 7 = 0 hafta.

Toplam bolluk faaliyetin kendi esnekliğini, serbest bolluk ise kendinden sonraki faaliyetleri etkilemeden sahip olduğu esnekliği verir.

Anahtar Kavram

CPM'de En Erken ve En Geç Zamanların Hesaplanması ile Bolluk Analizi

Soru 10Soru →

Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı (AFAD) tarafından yürütülen 'Ulusal Afet Erken Uyarı Sistemi Kurulum Projesi'ne ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve öngörülen süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet(ler)	Süre (Hafta)
A	-	4
B	-	6
C	A	5
D	A, B	7
E	C	8
F	B	4
G	D, F	6
H	E, G	3

CPM (Kritik Yol Yöntemi) kullanılarak proje ağı modellendiğinde, C faaliyetinin toplam bolluğu (TB) ile F faaliyetinin serbest bolluğu (SB) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

2 hafta ; 3 hafta

0 hafta ; 3 hafta

4 hafta ; 3 hafta

2 hafta ; 0 hafta

3 hafta ; 2 hafta

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2 hafta ; 3 hafta

Cevap

İstenen değerler doğru sırasıyla '2 hafta ; 3 hafta' şeklindedir.

İleriye doğru hesaplama yapıldığında, B (6) > D (7) > G (6) > H (3) rotası 22 hafta ile kritik yol olarak belirlenir. C faaliyetinin ağ üzerindeki konumuna bakıldığında; A'dan sonra başlar (

ES=4

), 5 hafta sürer (

EF=9

). Kendisini izleyen E faaliyetinin en geç başlama zamanı (

LS=11

) olduğu için C'nin en geç bitiş zamanı (

LF=11

) olur. Bu durumda C'nin Toplam Bolluğu (

TB = LF - EF = 11 - 9 = 2

) haftadır. F faaliyeti ise B'den sonra başlar (

ES=6

), 4 hafta sürer (

EF=10

). F'yi izleyen G faaliyetinin başlayabilmesi için D'nin de (13. haftada) bitmesi gerektiğinden G'nin en erken başlama zamanı

ES=13

'tür. F faaliyetinin Serbest Bolluğu (

SB = G'nin ES değeri - F'nin EF değeri = 13 - 10 = 3

) haftadır. İstenen değerler 2 ve 3 haftadır.

Adım Adım Çözüm

1

İleriye doğru hesaplama (Forward Pass) ile her faaliyetin En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitiş (EF) zamanlarını ile projenin tamamlanma süresini belirleyin.

A(ES:0, EF:4), B(ES:0, EF:6), C(ES:4, EF:9), D(ES:max(4,6)=6, EF:13), E(ES:9, EF:17), F(ES:6, EF:10), G(ES:max(13,10)=13, EF:19), H(ES:max(17,19)=19, EF:22). Proje süresi 22 haftadır.

Faaliyetlerin kendilerinden öncekilerin tamamen bitmesini bekleme kuralı gereği, birleşme noktalarında maksimum EF değerleri alınarak proje süresi tespit edilir.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) ile her faaliyetin En Geç Bitiş (LF) ve En Geç Başlama (LS) zamanlarını bulun.

H(LF:22, LS:19), E(LF:19, LS:11), G(LF:19, LS:13), C(LF:11, LS:6), D(LF:13, LS:6), F(LF:13, LS:9), A(LF:min(6,6)=6, LS:2), B(LF:min(6,9)=6, LS:0). Kritik yol: B-D-G-H.

Bolluk hesaplamaları için projenin 22 haftada bitmesi koşuluyla faaliyetlerin en geç ne zaman tamamlanabileceği bulunmalıdır.

3

C faaliyeti için Toplam Bolluk (

TB

) ve F faaliyeti için Serbest Bolluk (

SB

) formüllerini uygulayın.

C için

TB = LF - EF = 11 - 9 = 2

hafta. F için

SB = ES(G) - EF(F) = 13 - 10 = 3

hafta.

TB

, bir faaliyetin proje süresini uzatmadan gecikebileceği maksimum süreyi;

SB

ise kendisini izleyen faaliyetin en erken başlama zamanını etkilemeden gecikebileceği süreyi verir.

Anahtar Kavram

CPM Ağlarında İleri ve Geriye Doğru Hesaplama ile Bolluk Analizi

Soru 11Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen "Ulusal Tohum Gen Bankası Modernizasyon Projesi"ne ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve öngörülen süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Tanım	Öncül Faaliyet(ler)	Süre (Hafta)
A	İhtiyaç Analizi ve Fizibilite	-	5
B	Bütçe ve Finansman Onayı	-	7
C	Mimari Tasarımın Tamamlanması	A	6
D	İklimlendirme Sistemleri İhalesi	A	4
E	Uluslararası Ekipman Tedariki	B	8
F	İnşaat ve Altyapı İşleri	C, E	5
G	İklimlendirme ve Havalandırma Kurulumu	C, D	6
H	Sistem Entegrasyonu ve Test	F, G	4

Projenin planlanan en erken sürede tamamlanması hedeflenmektedir.

Buna göre, D faaliyeti (İklimlendirme Sistemleri İhalesi) için toplam bolluk (total float) ve serbest bolluk (free float) süreleri sırasıyla kaç haftadır?

5 ve 2

5 ve 0

5 ve 5

3 ve 0

4 ve 2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5 ve 2

Cevap

D faaliyeti için toplam bolluk 5 hafta, serbest bolluk ise 2 haftadır. Doğru seçenek '5 ve 2' olan seçenektir.

D faaliyetinin ileri doğru hesaplaması sonucunda En Erken Başlaması (ES) 5, süresi 4 olduğu için En Erken Bitişi (EF) 9'dur. D'nin ardından gelen G faaliyetinin başlaması için hem C'nin (EF=11) hem D'nin bitmesi gerektiğinden, G'nin En Erken Başlaması 11 olur. Serbest Bolluk = (Ardılın ES'i) - (Mevcut Faaliyetin EF'i) formülünden 11 - 9 = 2 hafta bulunur. Geriye doğru hesaplamada ise projenin bitişi 24 alınarak ilerlendiğinde G'nin En Geç Başlaması (LS) 14 bulunur. D'nin En Geç Bitişi (LF) ardılı olan G'nin LS değerine eşittir (14). Toplam Bolluk = LF - EF formülünden 14 - 9 = 5 hafta bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleriye doğru hesaplama (Forward Pass) ile En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitiş (EF) zamanlarını bulma.

A(ES=0, EF=5), B(ES=0, EF=7), C(ES=5, EF=11), D(ES=5, EF=9), E(ES=7, EF=15), F için max(11, 15)=15 (EF=20), G için max(11, 9)=11 (EF=17), H için max(20, 17)=20 (EF=24). Proje 24 haftada biter.

Her bir faaliyetin projenin başlangıcından itibaren ne kadar erken tamamlanabileceğini ve ardıl faaliyetlerin en erken ne zaman başlayabileceğini belirlemek için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) ile En Geç Başlama (LS) ve En Geç Bitiş (LF) zamanlarını belirleme.

H(LF=24, LS=20), F(LF=20, LS=15), G(LF=20, LS=14). D faaliyetinin tek ardılı G olduğu için D'nin LF değeri, G'nin LS değerine (14) eşittir. D(LF=14, LS=10).

Proje bitiş süresini geciktirmeden faaliyetlerin ne kadar ertelenebileceğini (bolluklarını) bulabilmek için geriye doğru sınırlar hesaplanmalıdır.

3

D faaliyeti için Toplam Bolluk (TF) ve Serbest Bolluk (FF) değerlerini hesaplama.

Toplam Bolluk (TF) = LF - EF = 14 - 9 = 5 hafta. Serbest Bolluk (FF) = Ardıl Faaliyetin (G) ES değeri - D'nin EF değeri = 11 - 9 = 2 hafta.

Toplam bolluk projenin genelini geciktirmeden sahip olunan esnekliği, serbest bolluk ise yalnızca ardıl faaliyetleri geciktirmeden kullanılabilecek esnekliği gösterir.

Anahtar Kavram

Kritik Yol Yönteminde (CPM) Toplam ve Serbest Bolluk Hesaplamaları

Soru 12Soru →

Enerji ve Tabii Kaynaklar Bakanlığı tarafından yürütülen 'Bölgesel Yenilenebilir Enerji Santrali Kurulumu' projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve olağan süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncül Faaliyetler	Süre (Hafta)
A	-	4
B	A	6
C	A	5
D	B	7
E	B, C	8
F	C	4
G	D, E	5
H	F	6

Buna göre, CPM (Kritik Yol Yöntemi) kullanılarak yapılan şebeke analizi sonucunda aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

F faaliyetinin serbest bolluğu 4 haftadır.

Projenin en kısa tamamlanma süresi 23 haftadır.

Kritik yol A - B - E - G faaliyetlerinden oluşmaktadır.

C faaliyetinin toplam bolluğu 1 haftadır.

D faaliyetinin en geç başlama zamanı 11. haftadır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: F faaliyetinin serbest bolluğu 4 haftadır.

Cevap

Yanlış olan ifade, F faaliyetinin serbest bolluğunun 4 hafta olduğunu belirten seçenektir. F'nin toplam bolluğu 4, serbest bolluğu 0'dır.

CPM ağında ileri ve geri hesaplamalar sonucunda F faaliyetinin en erken bitiş zamanı (EF) 13, takip eden H faaliyetinin en erken başlama zamanı (ES) 13 olarak bulunur. Serbest bolluk, bir faaliyetin kendinden sonra gelen faaliyetlerin başlama zamanını etkilemeden ne kadar geciktirilebileceğini gösterir (ES_Takipçi - EF_Mevcut). Dolayısıyla F'nin serbest bolluğu

13 - 13 = 0

haftadır. Toplam bolluğu (LF - EF = 17 - 13) 4 hafta olmasına rağmen serbest bolluğu sıfırdır. Bu yüzden verilen ifade yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

İleriye doğru hesaplama (Forward pass) ile her faaliyetin en erken başlama (ES) ve en erken bitiş (EF) zamanları hesaplanır.

A(0,4), B(4,10), C(4,9), D(10,17), E(10,18), F(9,13), G(18,23), H(13,19). Projenin tamamlanma süresi maksimum EF olan 23 haftadır.

Projenin en kısa tamamlanma süresini ve her bir faaliyetin olası en erken bitişini belirlemek için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward pass) ile her faaliyetin en geç bitiş (LF) ve en geç başlama (LS) zamanları hesaplanır.

Bitiş faaliyetlerinden (G ve H) başlanarak; G(18,23), H(17,23), D(11,18), E(10,18), F(13,17), B(4,10), C(5,10), A(0,4) değerleri elde edilir.

Kritik yolu tespit edebilmek ve faaliyetlerin geciktirilebilecekleri süreleri (bollukları) bulmak için.

3

Faaliyetlerin toplam ve serbest bollukları ile kritik yol belirlenir.

A, B, E ve G faaliyetlerinin toplam bolluğu sıfırdır (Kritik yol). C'nin toplam bolluğu 1 hafta, D'nin en geç başlama zamanı 11. haftadır. F'nin toplam bolluğu (LS-ES = 13-9) 4 hafta iken, serbest bolluğu (H'nin ES'si - F'nin EF'si = 13-13) 0 haftadır.

Soruda verilen seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu istatistiksel ve ağ mantığıyla teyit etmek için.

Anahtar Kavram

İleri ve Geriye Doğru Hesaplama ile Toplam ve Serbest Bolluk Ayrımı

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 13Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "Kamu Veri Merkezi Altyapı Modernizasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Öncel Faaliyet	Süre (Gün)
A	-	$4$
B	A	$6$
C	A	$3$
D	B	$5$
E	B, C	$4$
F	D, E	$3$

Buna göre, projenin toplam tamamlanma süresi ve $E$ faaliyetinin toplam bolluğu (total float) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

18

gün;

0

gün

18

gün;

1

gün

17

gün;

0

gün

18

gün;

4

gün

15

gün;

2

gün

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18$ gün; $1$ gün

Cevap

Projenin toplam süresi

18

gün ve

E

faaliyetinin toplam bolluğu

1

gündür.

Projenin kritik yolu

A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow F

güzergahıdır ve toplam süresi

4+6+5+3=18

gündür.

E

faaliyetinin en erken başlama zamanı

B

ve

C

faaliyetlerinin bitişine bağlı olup

10

. gündür.

F

faaliyetinin en geç başlama zamanı

15

. gün olduğundan,

E

faaliyetinin en geç bitişi

15

ve en geç başlama zamanı

11

(

15-4

) olur. Bu durumda bolluk

11-10=1

gün olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İleri doğru hesaplama (Forward Pass) ile En Erken Başlama (ES) ve En Erken Bitirme (EF) zamanlarını belirle.

A:

[0,4]

, B:

[4,10]

, C:

[4,7]

, D:

[10,15]

, E:

[max(10, 7), 10+4=14]

, F:

[max(15, 14), 15+3=18]

.

Proje süresini ve her faaliyetin mümkün olan en erken bitişini bulmak için.

2

Geriye doğru hesaplama (Backward Pass) ile En Geç Başlama (LS) ve En Geç Bitirme (LF) zamanlarını belirle.

F:

[15,18]

, D:

[10,15]

, E:

[11,15]

, B:

[min(10, 11)-6=4, 10]

, C:

[11-3=8, 11]

, A:

[4-4=0, 4]

.

Kritik yolu ve faaliyetlerin esneklik paylarını (bolluklarını) belirlemek için.

3

E faaliyeti için toplam bolluğu (Total Float = LS - ES) hesapla.

11 - 10 = 1

gün.

E

faaliyetinin projeyi geciktirmeden ne kadar ertelenebileceğini bulmak için.

Anahtar Kavram

CPM (Kritik Yol Yöntemi) ağ analizinde, bir faaliyetin toplam bolluğu, o faaliyetin en geç başlama zamanı ile en erken başlama zamanı arasındaki farktır.

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumu tarafından yürütülen "Veri Yönetişim Sistemi Entegrasyonu" projesine ait faaliyetler, bu faaliyetlerin öncel ilişkileri ve süreleri (hafta) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Faaliyet	Tanım	Öncel Faaliyet	Süre (Hafta)
A	Sistem Analizi	-	$4$
B	Veri Temizleme	-	$3$
C	Veri Mimarisi Tasarımı	A	$5$
D	Veritabanı Geliştirme	A, B	$6$
E	Entegrasyon Testleri	C, D	$4$
F	Yayına Alma	E	$2$

Buna göre, B faaliyetinin toplam bolluk (total float) süresi kaç haftadır?

0

1

2

3

4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1$

Cevap

B faaliyetinin toplam bolluk süresi

1

haftadır.

Yapılan ileri ve geri yönlü hesaplamalar sonucunda, projenin toplam süresinin

16

hafta olduğu görülmektedir. B faaliyetinin en erken başlama zamanı

0

, en geç başlama zamanı ise

1

haftadır. Aradaki

1

haftalık fark, bu faaliyetin sahip olduğu toplam bolluk süresidir.

Adım Adım Çözüm

1

İleri yönlü hesaplama ile Erken Başlama (EB) ve Erken Bitiş (ET) zamanlarını bulun.

EB(A)=0, ET(A)=4

;

EB(B)=0, ET(B)=3

;

EB(C)=4, ET(C)=9

;

EB(D)=\max(ET(A), ET(B))=\max(4, 3)=4, ET(D)=10

;

EB(E)=\max(9, 10)=10, ET(E)=14

;

EB(F)=14, ET(F)=16

.

Projenin toplam süresini ve faaliyetlerin erken zamanlarını belirlemek için gereklidir.

2

Kritik yolu ve toplam proje süresini belirleyin.

Toplam süre

16

haftadır. Kritik yol A-D-E-F güzergahıdır.

Bolluk hesaplamaları için referans süreyi belirler.

3

Geri yönlü hesaplama ile Geç Bitiş (GB) ve Geç Başlama (GS) zamanlarını bulun.

GB(F)=16, GS(F)=14

;

GB(E)=14, GS(E)=10

;

GB(D)=10, GS(D)=4

;

GB(C)=10, GS(C)=5

;

GB(B)=GS(D)=4, GS(B)=1

.

Her bir faaliyetin proje süresini aksatmadan tamamlanabileceği en geç zamanları bulmak için gereklidir.

4

B faaliyeti için toplam bolluğu (

TB = GS - EB

veya

GB - ET

) hesaplayın.

TB(B) = 1 - 0 = 1

veya

4 - 3 = 1

.

İstenen bolluk süresine ulaşmak için son adımdır.

Anahtar Kavram

CPM (Kritik Yol Yöntemi) Toplam Bolluk Hesaplaması

İpuçları

1

Önce projenin toplam süresini belirlemek için ileri yönlü hesaplama yapın.

2

D faaliyetinin başlaması için hem A hem de B'nin bitmesi gerektiğini unutmayın (maksimum kuralı).

3

B faaliyetinin en geç bitiş zamanı, D faaliyetinin en geç başlama zamanına eşittir.

Daha Fazla Pratik

C faaliyetinin de toplam bolluğunu hesaplayarak B faaliyeti ile karşılaştırınız.

Tahmini Süre:2m 0s

CPM (Kritik Yol Yöntemi)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik