Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizi Kavramı ve Genel Terim
Genel terimi
an=log⁡n+2(n+3)a_n = \log_{n+2}(n+3)
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ilk kk teriminin çarpımı olan
a1⋅a2⋅a3⋯ak=3a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_k = 3
eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevap: 24

Cevap

k sayısı 24 olarak bulunur.
Dizinin terimleri genel terim formülü kullanılarak yazıldığında elde edilen logaritma çarpımı, logaritmadaki zincir kuralıyla sadeleşerek tabanı 3 ve argümanı k+3 olan tek bir logaritma ifadesine dönüşür. Bu ifadenin 3'e eşitlenmesiyle k+3 = 27 denklemi elde edilir ve k = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini yazalım.
a1=log⁡34a_1 = \log_3 4, a2=log⁡45a_2 = \log_4 5, a3=log⁡56a_3 = \log_5 6, ..., ak=log⁡k+2(k+3)a_k = \log_{k+2} (k+3)
Genel terim formülünde n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., k yazarak terimleri elde ederiz.
2
Bu terimlerin çarpımını yazıp sadeleştirelim.
a1⋅a2⋯ak=log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡k+2(k+3)=log⁡3(k+3)a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{k+2} (k+3) = \log_3 (k+3)
Logaritmadaki zincir kuralı (taban değiştirme özelliği) gereğince ardışık terimlerin taban ve argümanları birbirini sadeleştirir.
3
Çarpımın sonucunu 3'e eşitleyip k değerini bulalım.
log⁡3(k+3)=3  ⟹  k+3=33  ⟹  k+3=27  ⟹  k=24\log_3 (k+3) = 3 \implies k+3 = 3^3 \implies k+3 = 27 \implies k = 24
Logaritma tanımını kullanarak üslü ifadeye çeviririz ve bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik dizilerde terimlerin çarpımı ve logaritma zincir kuralı
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru