Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDizi Kavramı ve Genel Terim
Genel terimi
an=n2−9n+142n2−11n+20−ka_n = \frac{n^2 - 9n + 14}{2n^2 - 11n + 20 - k}
olan (an)(a_n) ifadesi bir gerçel sayı dizisi belirttiğine göre, kk pozitif tam sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
  1. A
    12
  2. B
    10
  3. 6Cevap
  4. D
    9
  5. E
    7

Cevap

6 değeri k için kullanılamaz çünkü bu değer dizinin ikinci terimini tanımsız yapmaktadır.
6 değeri k yerine yazıldığında payda ifadesinin köklerinden biri n = 2 pozitif tam sayısı olur. Bu durumda dizinin ikinci terimi olan a_2 tanımsız olacağından ifade bir gerçel sayı dizisi belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak genel terimin tanımsız olduğu durumları belirleme.
Bir (an)(a_n) ifadesinin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı bir gerçel sayıya eşit olması gerekir. Rasyonel bir ifadenin tanımsız olması paydasının sıfır olmasına bağlıdır. Bu nedenle 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü olmamalıdır.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
Seçeneklerdeki değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını analiz etme.
6 değeri incelenir. k=6k = 6 için payda 2n2−11n+142n^2 - 11n + 14 olur. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırırsak: (2n−7)(n−2)=0(2n - 7)(n - 2) = 0 elde edilir. Buradan kökler n=2n = 2 ve n=72n = \frac{7}{2} bulunur.
Paydayı sıfır yapan nn değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Bulunan köklerin dizi terimi indisleriyle uyuşup uyuşmadığını ve belirsizlik durumunu kontrol etme.
n=2n = 2 bir pozitif tam sayı olduğundan dizinin ikinci terimi olan a2a_2 hesaplanırken payda sıfır olur. Pay ise 22−9(2)+14=02^2 - 9(2) + 14 = 0 olur. Bu durumda a2=00a_2 = \frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyonun tanım kümesindeki n=2n = 2 değeri için başlangıçtaki kural tanımsızdır. Dolayısıyla a2a_2 bir gerçel sayı belirtmez.
Sadeleştirilebilir belirsizlik durumları bile ifadenin o noktada tanımsız olmasını engellemez.
4
Diğer seçeneklerin neden dizi belirtmeyi engellemediğini doğrulama.
k=7,9,10,12k = 7, 9, 10, 12 değerleri için 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin diskriminantı sırasıyla Δ=17,33,41,57\Delta = 17, 33, 41, 57 olur. Bu değerler tam kare olmadığından denklemlerin kökleri rasyonel sayı değildir ve dolayısıyla hiçbir pozitif tam sayı değeri paydayı sıfır yapamaz. Bu durumda dizi tanımlı kalır.
Paydanın kökleri pozitif tam sayı değilse dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisi için tanımlı olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru