Examkin

Soru

Zorluk: ZorDizi Kavramı ve Genel Terim
an=n2−12n+32n2−16n+63a_n = \sqrt{\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63}}

ifadesi en çok kaç terimli bir sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir?

  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    5
  4. D
    8
  5. E
    Sonsuz

Cevap

Bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu gerçel sayı dizisi oluşturulabilir.
Dizinin genel teriminin tanımlı olduğu pozitif tam sayılar incelendiğinde, 1'den başlayan ve ardışık olarak devam eden en geniş küme {1, 2, 3, 4} kümesidir. 5 değeri genel terimi tanımsız yaptığından bu dizinin 5. terimi bulunamaz ve dolayısıyla sonlu dizi en fazla 4 terimli olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir (an)(a_n) genel terimli ifadesinin sonlu gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için, dizinin tanım kümesi olan Ak={1,2,…,k}A_k = \{1, 2, \dots, k\} kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için ana_n değerinin bir gerçel sayı olması gerekir.
Bu durumda, kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir: n2−12n+32n2−16n+63≥0\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63} \ge 0 ve n2−16n+63≠0n^2 - 16n + 63 \neq 0
Kareköklü ifadelerin gerçel sayı belirtme şartı kök içinin negatif olmamasıdır, rasyonel ifadelerde ise payda sıfır olamaz.
2
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için pay ve paydanın kökleri bulunur.
Payın kökleri: n2−12n+32=0  ⟹  (n−4)(n−8)=0  ⟹  n=4n^2 - 12n + 32 = 0 \implies (n-4)(n-8) = 0 \implies n = 4 ve n=8n = 8.
Paydanın kökleri: n2−16n+63=0  ⟹  (n−7)(n−9)=0  ⟹  n=7n^2 - 16n + 63 = 0 \implies (n-7)(n-9) = 0 \implies n = 7 ve n=9n = 9.
İşaret değişim noktalarını belirlemek ve tablo sınırlarını çizmek için köklerin bulunması gerekir.
3
Kökler küçükten büyüğe (4,7,8,94, 7, 8, 9) sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları pozitif olduğu için tablo sağdan (+) ile başlar:
- n>9n > 9 için (+)
- 8<n<98 < n < 9 için (-)
- 7<n≤87 < n \le 8 için (+)
- 4≤n<74 \le n < 7 için (-)
- n<4n < 4 için (+)
Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: (−∞,4]∪(7,8]∪(9,∞)(-\infty, 4] \cup (7, 8] \cup (9, \infty) aralıklarının birleşimidir (payda kökleri olan 7 ve 9 dahil değildir).
Çözüm kümesini veren aralıkları tam olarak belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) belirlenir.
- (−∞,4](-\infty, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar: 1,2,3,41, 2, 3, 4
- (7,8](7, 8] aralığındaki pozitif tam sayı: 88
- (9,∞)(9, \infty) aralığındaki pozitif tam sayılar: 10,11,12,…10, 11, 12, \dots
Tanımlı indisler kümesi: S={1,2,3,4,8}∪{10,11,12,… }S = \{1, 2, 3, 4, 8\} \cup \{10, 11, 12, \dots\} olarak bulunur.
Dizi terimlerinin indisleri yalnızca pozitif tam sayılardan oluşabilir.
5
Sonlu dizi tanım kümesi olan {1,2,…,k}\{1, 2, \dots, k\} kümesinin SS kümesinin alt kümesi olmasını sağlayan en büyük kk değeri tespit edilir.
k=4k=4 için {1,2,3,4}⊆S\{1, 2, 3, 4\} \subseteq S sağlanır. Ancak 5∉S5 \notin S olduğundan, k=5k=5 için {1,2,3,4,5}⊈S\{1, 2, 3, 4, 5\} \not\subseteq S olur. Dolayısıyla bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu dizi oluşturulabilir.
Dizi tanım kümesinin 1'den başlayan ardışık pozitif tam sayılardan oluşması şartı aranır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim olarak dizi belirtmesi için tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması gerekir. Sonlu bir dizinin tanım kümesi ise ardışık pozitif tam sayıların bir alt kümesi olan A_k = {1, 2, ..., k} biçiminde olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru