Examkin

Dizi Kavramı ve Genel Terim

25 soru

Tüm türler25Çoktan seçmeli13Sayısal12
Soru 1Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=5n−32n2−11n+ka_n = \frac{5n - 3}{2n^2 - 11n + k}
ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Dizinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı 55'tir.
Dizinin genel teriminde payda sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfır yapan 2n2−11n+k=02n^2 - 11n + k = 0 denkleminden k=11n−2n2k = 11n - 2n^2 elde edilir. kk pozitif tam sayısı için 11n−2n2>011n - 2n^2 > 0 olmalıdır, bu da 0<n<5,50 < n < 5,5 aralığındaki nn pozitif tam sayıları (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) için geçerlidir. Bu nn değerleri için kk değerleri sırasıyla 9,14,15,12,59, 14, 15, 12, 5 bulunur ve bu değerlerin toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi özelliğini kullanarak paydayı sıfır yapan denklemi kurmak
2n2−11n+k=0  ⟹  k=11n−2n22n^2 - 11n + k = 0 \implies k = 11n - 2n^2
Diziler pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu durumlarda ifade tanımsız olacağından, dizinin tanımlı olmasını engelleyen kk değerleri paydanın sıfır olduğu durumlardan elde edilir.
2
kk pozitif tam sayı şartına göre nn indisinin alabileceği değer aralığını belirlemek
n∈{1,2,3,4,5}n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
k>0  ⟹  11n−2n2>0  ⟹  n(11−2n)>0k > 0 \implies 11n - 2n^2 > 0 \implies n(11 - 2n) > 0. Buradan 0<n<5,50 < n < 5,5 elde edilir. nn ifadesi bir indis olduğundan pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Her bir nn değeri için kk değerlerini hesaplamak
k∈{5,9,12,14,15}k \in \{5, 9, 12, 14, 15\}
n=1  ⟹  k=9n = 1 \implies k = 9, n=2  ⟹  k=14n = 2 \implies k = 14, n=3  ⟹  k=15n = 3 \implies k = 15, n=4  ⟹  k=12n = 4 \implies k = 12, n=5  ⟹  k=5n = 5 \implies k = 5 olarak bulunur.
4
Elde edilen kk değerlerini toplamak
5+9+12+14+15=555 + 9 + 12 + 14 + 15 = 55
Soruda dizinin belirtilmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerleri dizinin tanımlı olmasını engeller.
Soru 2Soru →
an=n2−12n+32n2−16n+63a_n = \sqrt{\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63}}

ifadesi en çok kaç terimli bir sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu gerçel sayı dizisi oluşturulabilir.
Dizinin genel teriminin tanımlı olduğu pozitif tam sayılar incelendiğinde, 1'den başlayan ve ardışık olarak devam eden en geniş küme {1, 2, 3, 4} kümesidir. 5 değeri genel terimi tanımsız yaptığından bu dizinin 5. terimi bulunamaz ve dolayısıyla sonlu dizi en fazla 4 terimli olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir (an)(a_n) genel terimli ifadesinin sonlu gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için, dizinin tanım kümesi olan Ak={1,2,…,k}A_k = \{1, 2, \dots, k\} kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için ana_n değerinin bir gerçel sayı olması gerekir.
Bu durumda, kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir: n2−12n+32n2−16n+63≥0\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63} \ge 0 ve n2−16n+63≠0n^2 - 16n + 63 \neq 0
Kareköklü ifadelerin gerçel sayı belirtme şartı kök içinin negatif olmamasıdır, rasyonel ifadelerde ise payda sıfır olamaz.
2
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için pay ve paydanın kökleri bulunur.
Payın kökleri: n2−12n+32=0  ⟹  (n−4)(n−8)=0  ⟹  n=4n^2 - 12n + 32 = 0 \implies (n-4)(n-8) = 0 \implies n = 4 ve n=8n = 8.
Paydanın kökleri: n2−16n+63=0  ⟹  (n−7)(n−9)=0  ⟹  n=7n^2 - 16n + 63 = 0 \implies (n-7)(n-9) = 0 \implies n = 7 ve n=9n = 9.
İşaret değişim noktalarını belirlemek ve tablo sınırlarını çizmek için köklerin bulunması gerekir.
3
Kökler küçükten büyüğe (4,7,8,94, 7, 8, 9) sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları pozitif olduğu için tablo sağdan (+) ile başlar:
- n>9n > 9 için (+)
- 8<n<98 < n < 9 için (-)
- 7<n≤87 < n \le 8 için (+)
- 4≤n<74 \le n < 7 için (-)
- n<4n < 4 için (+)
Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: (−∞,4]∪(7,8]∪(9,∞)(-\infty, 4] \cup (7, 8] \cup (9, \infty) aralıklarının birleşimidir (payda kökleri olan 7 ve 9 dahil değildir).
Çözüm kümesini veren aralıkları tam olarak belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) belirlenir.
- (−∞,4](-\infty, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar: 1,2,3,41, 2, 3, 4
- (7,8](7, 8] aralığındaki pozitif tam sayı: 88
- (9,∞)(9, \infty) aralığındaki pozitif tam sayılar: 10,11,12,…10, 11, 12, \dots
Tanımlı indisler kümesi: S={1,2,3,4,8}∪{10,11,12,… }S = \{1, 2, 3, 4, 8\} \cup \{10, 11, 12, \dots\} olarak bulunur.
Dizi terimlerinin indisleri yalnızca pozitif tam sayılardan oluşabilir.
5
Sonlu dizi tanım kümesi olan {1,2,…,k}\{1, 2, \dots, k\} kümesinin SS kümesinin alt kümesi olmasını sağlayan en büyük kk değeri tespit edilir.
k=4k=4 için {1,2,3,4}⊆S\{1, 2, 3, 4\} \subseteq S sağlanır. Ancak 5∉S5 \notin S olduğundan, k=5k=5 için {1,2,3,4,5}⊈S\{1, 2, 3, 4, 5\} \not\subseteq S olur. Dolayısıyla bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu dizi oluşturulabilir.
Dizi tanım kümesinin 1'den başlayan ardışık pozitif tam sayılardan oluşması şartı aranır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim olarak dizi belirtmesi için tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması gerekir. Sonlu bir dizinin tanım kümesi ise ardışık pozitif tam sayıların bir alt kümesi olan A_k = {1, 2, ..., k} biçiminde olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →
Genel terimi
an={3n−k,n tek isen2−12n+32,n c¸ift isea_n = \begin{cases} 3n - k, & n \text{ tek ise} \\ n^2 - 12n + 32, & n \text{ çift ise} \end{cases}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin negatif terimlerinin sayısı 44 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Negatif terim sayısının 4 olmasını sağlayan en küçük kk tam sayısı 16'dır.
Çift indisli terimler incelendiğinde sadece a6a_6 teriminin negatif olduğu görülür. Toplam 4 negatif terim elde edebilmek amacıyla tek indisli terimlerden tam olarak 3 adet negatif terim gelmelidir. an=3n−ka_n = 3n - k dizisi artan olduğundan, negatif terimler sırasıyla en küçük tek indisli terimler olan a1,a3a_1, a_3 ve a5a_5 olmalıdır. Bir sonraki tek indisli terim olan a7a_7 ise negatif olmamalıdır. Buradan hareketle a5<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies k \le 21 eşitsizlikleri elde edilir. Bu aralıkta kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimi tek ve çift indisler için parçalı olarak tanımlandığından, çift ve tek indisli durumları ayrı ayrı incelemek üzere planlama yapılır.
Çift indisli terimler için an=n2−12n+32a_n = n^2 - 12n + 32 ve tek indisli terimler için an=3n−ka_n = 3n - k ifadeleri kullanılacaktır.
Dizi indislerinin pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması koşuluna uygun terimleri belirlemek.
2
Çift indisli terimlerin hangilerinin negatif olduğunu bulmak için n2−12n+32<0n^2 - 12n + 32 < 0 eşitsizliği çözülür.
(n−4)(n−8)<0  ⟹  4<n<8(n-4)(n-8) < 0 \implies 4 < n < 8 bulunur. Bu aralıktaki tek çift pozitif tam sayı n=6n = 6 olduğundan, çift indisli terimlerden yalnızca a6a_6 negatiftir.
Çift terimlerden gelen negatif terim sayısını tam olarak saptamak.
3
Toplam negatif terim sayısı 4 olarak verildiğinden ve bunlardan 1 tanesi çift indisli terimlerden geldiğinden, tek indisli terimlerden tam olarak 3 tanesinin negatif olması gerektiği çıkarımı yapılır.
Tek indisli terimlerden ilk üçü (a1,a3,a5a_1, a_3, a_5) negatif, dördüncü tek terim (a7a_7) ise sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
an=3n−ka_n = 3n - k ifadesi nn arttıkça artan bir dizi oluşturduğundan, negatif terimler en küçük indisliler olmak zorundadır.
4
Tek indisli terimler için belirlenen koşullar eşitsizliğe dökülür.
a5<0  ⟹  3(5)−k<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies 3(5) - k < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  3(7)−k≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies 3(7) - k \ge 0 \implies k \le 21 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirilerek 15<k≤2115 < k \le 21 bulunur.
kk parametresinin alabileceği değer aralığını belirlemek.
5
15<k≤2115 < k \le 21 aralığındaki en küçük kk tam sayısı tespit edilir.
Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16'dır.
Soruda istenen en küçük kk tam sayı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması, parçalı tanımlı dizilerde genel terim analizi ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Soru 4Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=log⁡5(k2n2−18n+47)a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi 22 olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 175

Cevap

Dizinin en büyük terimi n=4n = 4 veya n=5n = 5 için elde edilir ve bu durumda kk değeri 175 olarak bulunur.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek
Paydadaki 2n2−18n+472n^2 - 18n + 47 ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.
Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
2
Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak
r=4,5r = 4,5
2x2−18x+472x^2 - 18x + 47 parabolünün tepe noktası x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
3
Dizi tanım kümesi sınırını (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) uygulamak
n=4n = 4 veya n=5n = 5 değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri: 2(4)2−18(4)+47=72(4)^2 - 18(4) + 47 = 7
Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden 4,54,5 değerine en yakın tam sayılar olan 44 ve 55 incelenir.
4
Maksimum terim değerini kullanarak kk değerini hesaplamak
k=175k = 175
a4=log⁡5(k7)=2  ⟹  k7=25  ⟹  k=175a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175 eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) ve genel terim özellikleri
Soru 5Soru →
Genel terimi
an=n2−9n+142n2−11n+20−ka_n = \frac{n^2 - 9n + 14}{2n^2 - 11n + 20 - k}
olan (an)(a_n) ifadesi bir gerçel sayı dizisi belirttiğine göre, kk pozitif tam sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 değeri k için kullanılamaz çünkü bu değer dizinin ikinci terimini tanımsız yapmaktadır.
6 değeri k yerine yazıldığında payda ifadesinin köklerinden biri n = 2 pozitif tam sayısı olur. Bu durumda dizinin ikinci terimi olan a_2 tanımsız olacağından ifade bir gerçel sayı dizisi belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak genel terimin tanımsız olduğu durumları belirleme.
Bir (an)(a_n) ifadesinin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı bir gerçel sayıya eşit olması gerekir. Rasyonel bir ifadenin tanımsız olması paydasının sıfır olmasına bağlıdır. Bu nedenle 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü olmamalıdır.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
Seçeneklerdeki değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını analiz etme.
6 değeri incelenir. k=6k = 6 için payda 2n2−11n+142n^2 - 11n + 14 olur. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırırsak: (2n−7)(n−2)=0(2n - 7)(n - 2) = 0 elde edilir. Buradan kökler n=2n = 2 ve n=72n = \frac{7}{2} bulunur.
Paydayı sıfır yapan nn değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Bulunan köklerin dizi terimi indisleriyle uyuşup uyuşmadığını ve belirsizlik durumunu kontrol etme.
n=2n = 2 bir pozitif tam sayı olduğundan dizinin ikinci terimi olan a2a_2 hesaplanırken payda sıfır olur. Pay ise 22−9(2)+14=02^2 - 9(2) + 14 = 0 olur. Bu durumda a2=00a_2 = \frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyonun tanım kümesindeki n=2n = 2 değeri için başlangıçtaki kural tanımsızdır. Dolayısıyla a2a_2 bir gerçel sayı belirtmez.
Sadeleştirilebilir belirsizlik durumları bile ifadenin o noktada tanımsız olmasını engellemez.
4
Diğer seçeneklerin neden dizi belirtmeyi engellemediğini doğrulama.
k=7,9,10,12k = 7, 9, 10, 12 değerleri için 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin diskriminantı sırasıyla Δ=17,33,41,57\Delta = 17, 33, 41, 57 olur. Bu değerler tam kare olmadığından denklemlerin kökleri rasyonel sayı değildir ve dolayısıyla hiçbir pozitif tam sayı değeri paydayı sıfır yapamaz. Bu durumda dizi tanımlı kalır.
Paydanın kökleri pozitif tam sayı değilse dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisi için tanımlı olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →
Genel terimi
an=log⁡n+2(n+3)a_n = \log_{n+2}(n+3)
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ilk kk teriminin çarpımı olan
a1⋅a2⋅a3⋯ak=3a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_k = 3
eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısı 24 olarak bulunur.
Dizinin terimleri genel terim formülü kullanılarak yazıldığında elde edilen logaritma çarpımı, logaritmadaki zincir kuralıyla sadeleşerek tabanı 3 ve argümanı k+3 olan tek bir logaritma ifadesine dönüşür. Bu ifadenin 3'e eşitlenmesiyle k+3 = 27 denklemi elde edilir ve k = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini yazalım.
a1=log⁡34a_1 = \log_3 4, a2=log⁡45a_2 = \log_4 5, a3=log⁡56a_3 = \log_5 6, ..., ak=log⁡k+2(k+3)a_k = \log_{k+2} (k+3)
Genel terim formülünde n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., k yazarak terimleri elde ederiz.
2
Bu terimlerin çarpımını yazıp sadeleştirelim.
a1⋅a2⋯ak=log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡k+2(k+3)=log⁡3(k+3)a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{k+2} (k+3) = \log_3 (k+3)
Logaritmadaki zincir kuralı (taban değiştirme özelliği) gereğince ardışık terimlerin taban ve argümanları birbirini sadeleştirir.
3
Çarpımın sonucunu 3'e eşitleyip k değerini bulalım.
log⁡3(k+3)=3  ⟹  k+3=33  ⟹  k+3=27  ⟹  k=24\log_3 (k+3) = 3 \implies k+3 = 3^3 \implies k+3 = 27 \implies k = 24
Logaritma tanımını kullanarak üslü ifadeye çeviririz ve bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik dizilerde terimlerin çarpımı ve logaritma zincir kuralı
Soru 7Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere,

an=k⋅n2−20n+16a_n = \sqrt{k \cdot n^2 - 20n + 16}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizi genel teriminin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin her pozitif tam sayı değeri için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} eşitsizliği elde edilir. Bu ifadenin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.
Genel terimin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılarda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu şart k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} biçiminde yazıldığında, sağdaki ifadenin alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini ve gerçel sayı dizisi olma şartını belirleme.
k⋅n2−20n+16≥0(her n∈Z+ ic¸in)k \cdot n^2 - 20n + 16 \geq 0 \quad (\text{her } n \in \mathbb{Z}^+ \text{ için})
Bir genel terimin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması, yani kareköklü ifadenin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
kk parametresini yalnız bırakarak nn değişkenine bağlı bir eşitsizlik elde etme.
k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0 dır. Eşitsizliğin her iki tarafı n2n^2 ile bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez.
3
bn=20n−16n2b_n = \frac{20n - 16}{n^2} dizisinin en büyük terimini bulma.
b1=4b_1 = 4, b2=6b_2 = 6, b3=449≈4,89b_3 = \frac{44}{9} \approx 4,89, b4=4b_4 = 4 ve n≥2n \geq 2 için terimler azalan yöndedir. En büyük terim b2=6b_2 = 6 dır.
kk sayısının her nn pozitif tam sayısı için bu eşitsizliği sağlaması gerektiğinden, kk değeri bu ifadenin alabileceği en büyük değerden büyük veya eşit olmalıdır.
4
kk gerçel sayısının alabileceği en küçük değeri belirleme.
k≥6k \geq 6 olduğundan en küçük kk değeri 6'dır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için eşitsizliğin sağlanabilmesi için kk'nin alabileceği en küçük değer, dizinin en büyük terimi olan 6'ya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesindeki tüm elemanlar (pozitif tam sayılar) için tanımlı olması şartı aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

(an)(a_n) terimleri gerçel sayılardan oluşan bir dizidir.

an=x⋅n2−16n+12n2+3a_n = \sqrt{\frac{x \cdot n^2 - 16n + 12}{n^2 + 3}}

olduğuna göre, xx gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Dizinin her teriminin tanımlı olması için karekökün içerisi negatif olmamalıdır. Payda daima pozitif olduğundan, pay kısmının da daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2} eşitsizliğinde sağ taraftaki ifadenin pozitif tam sayılardaki en büyük değeri n=2n = 2 için 5'tir. Bu yüzden xx en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme.
x⋅n2−16n+12≥0x \cdot n^2 - 16n + 12 \ge 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimlerinin gerçel sayı olması için karekökün içerisi negatif olamaz ve payda sıfır olamaz (n2+3>0n^2 + 3 > 0 olduğundan payda sıfır olamaz).
2
xx parametresini nn cinsinden yalnız bırakma.
x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0'dır, bu sayede eşitsizlik yön değiştirmeden her iki taraf n2n^2 ile bölünebilir.
3
f(n)=16n−12n2f(n) = \frac{16n - 12}{n^2} fonksiyonunun pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulma.
Maksimum değer n=2n = 2 için f(2)=5f(2) = 5 olur.
Dizi terimlerinin indisleri pozitif tam sayı olmak zorundadır. n=1n=1 için 4, n=2n=2 için 5, n=3n=3 için 4 değerleri elde edilir ve sonraki terimler azalarak devam eder.
4
xx için sınır değerini belirleme ve en küçük tam sayıyı bulma.
x≥5x \ge 5 şartından en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için sağlanması, xx'in bu kümedeki en büyük değerden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesi olan pozitif tam sayılar kümesindeki her eleman için reel sayı değerleri üretmesi gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
Soru 9Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=log⁡3(n2−10n+34)a_n = \log_3(n^2 - 10n + 34)
olarak veriliyor.
Buna göre, bu dizinin en küçük terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin en küçük terimi 2'dir.
Dizinin genel terimindeki ifadenin en küçük değeri, parabolün tepe noktası olan n = 5 pozitif tam sayısı için gerçekleşir. Bu noktadaki terimin değeri log_3(9) = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin en küçük terimini bulmak için genel terimdeki logaritma fonksiyonunun iç kısmının en küçük değerini alması gerekir.
f(n) = n^2 - 10n + 34 ifadesinin minimum değeri bulunmalıdır.
Logaritma tabanı (3) 1'den büyük olduğu için, logaritmanın içerisindeki ifade kü��üldükçe genel değer de küçülür.
2
İkinci dereceden f(n) = n^2 - 10n + 34 fonksiyonunun tepe noktası apsisi (r) hesaplanır.
r = -(-10) / (2 * 1) = 5
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
3
r = 5 de��eri bir pozitif tam sayı olduğu için dizi indisi olarak kullanılabilir. Bu değer genel terimde yerine yazılır.
a_5 = log_3(5^2 - 10 * 5 + 34) = log_3(25 - 50 + 34) = log_3(9)
Dizi tanım kümesi pozitif tam sayılardan oluşur ve n = 5 bu tanıma uygundur.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log_3(9) = log_3(3^2) = 2
Logaritma tanımı gereği 3'ün karesi 9'dur, bu nedenle log_3(9) = 2 olur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük terimini bulurken, genel terimi bir fonksiyon gibi düşünerek minimum noktası aranır. Ancak bulunacak minimum noktasının apsisi (n değeri) mutlaka bir pozitif tam sayı olmalıdır.
Soru 10Soru →
Genel terimi
an=2n2+2n+28n+1a_n = \frac{2n^2 + 2n + 28}{n+1}
olan (an)(a_n) dizisinin en küçük terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Dizinin en küçük terimi 13'tür.
Dizinin genel terimi an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1} biçiminde yazıldığında, ifadenin en küçük değeri n=3n=3 pozitif tam sayısı için 1313 olarak bulunur. Sürekli fonksiyonun minimum noktası tam sayı olmadığından, en yakın tam sayı değerleri kontrol edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini sadeleştirmek için payı paydaya bölün veya uygun şekilde gruplayın.
an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1}
Değişkenin etkisini daha rahat incelemek ve fonksiyonun davranışını analiz etmek için.
2
f(x)=2x+28x+1f(x) = 2x + \frac{28}{x+1} sürekli fonksiyonunun türevini alarak sıf��ra eşitleyin.
x≈2.74x \approx 2.74
Sürekli fonksiyonun minimum değerini aldığı kritik noktayı bulmak için.
3
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı olması gerektiğini göz önüne alarak, 2.742.74 değerine en yakın tam sayıları belirleyin.
n=2n = 2 ve n=3n = 3
En küçük terimin bu tam sayılardan birinde gerçekleşeceğini bilmek.
4
n=2n=2 ve n=3n=3 değerlerini genel terimde yerine koyarak terim değerlerini hesaplayın.
a2=403≈13.33a_2 = \frac{40}{3} \approx 13.33 ve a3=13a_3 = 13
Hangi tam sayı değerinin daha küçük sonuç verdiğini bulmak için.
5
Bulunan sonuçları karşılaştırarak en küçük değeri belirleyin.
En küçük terim a3=13a_3 = 13 olarak bulunur.
Karşılaştırma sonucunda 13<13.3313 < 13.33 olduğundan.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı gereği genel terim fonksiyonunun tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi olması ve bu küme üzerinde en küçük değerin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin genel terimi
an=n−52n−ka_n = \sqrt{\frac{n-5}{2n-k}}
olarak veriliyor.
Buna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Doğru cevap 20 değeridir.
Doğru cevap 20'dir. Çünkü (an)(a_n) ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her nn pozitif tam sayısı için tanımlı olması gerekir. Karekökün içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşulları incelendiğinde, kk tam sayısının 8<k<128 < k < 12 aralığında olması ve k≠10k \neq 10 şartını sağlaması gerektiği bulunur. Bu koşulları sağlayan kk tam sayıları 9 ve 11'dir, toplamları ise 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin gerçel sayı dizisi belirtmesi için gerekli tanım koşullarını belirleme
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n−52n−k≥0\frac{n-5}{2n-k} \geq 0 ve 2n−k≠02n-k \neq 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimleri gerçel sayılardan oluşmalıdır ve tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
n=5n = 5 durumunu inceleme
n=5n = 5 için pay sıfır olur: 010−k≥0\frac{0}{10-k} \geq 0. Bu ifadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır, yani 10−k≠0  ⟹  k≠1010-k \neq 0 \implies k \neq 10 olmalıdır.
Payda sıfır olduğunda ifade tanımsız olur.
3
n<5n < 5 (yani n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\}) durumunu inceleme
n<5n < 5 için pay (n−5)(n-5) negatiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da negatif olmalıdır. Buradan 2n−k<0  ⟹  k>2n2n-k < 0 \implies k > 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri için sağlanması için en büyük nn değeri olan n=4n=4 için sağlanması yeterlidir: k>2(4)  ⟹  k>8k > 2(4) \implies k > 8.
Negatif bir sayının negatif bir sayıya b��lümü pozitif sonuç verir.
4
n>5n > 5 (yani n≥6n \geq 6) durumunu inceleme
n>5n > 5 için pay (n−5)(n-5) pozitiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da pozitif olmalıdır. Buradan 2n−k>0  ⟹  k<2n2n-k > 0 \implies k < 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n≥6n \geq 6 değerleri için sağlanması için en küçük nn değeri olan n=6n=6 için sağlanması yeterlidir: k<2(6)  ⟹  k<12k < 2(6) \implies k < 12.
Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü pozitif sonuç verir.
5
Elde edilen tüm koşulları birleştirme ve kk tam sayılarını bulma
Koşullar birleştirildiğinde 8<k<128 < k < 12 ve k≠10k \neq 10 elde edilir. Bu aralıktaki kk tam sayıları 9 ve 11'dir. Toplamları ise 9+11=209 + 11 = 20 olur.
Tüm indis değerleri (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için fonksiyonun tanımlı olmasını sağlayan ortak aralık bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için tanım kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için tanımlı ve reel sayı değerine eşit olması gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.
Soru 12Soru →
an=k−nn−5a_n = \sqrt{\frac{k - n}{n - 5}}

ifadesi bir (an)(a_n) sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, bu dizinin terim sayısı en fazla kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 4 olabilir.
Dizi tanımı gereği terimler n=1'den başlamalıdır. n=1 için kök içinin tanımlı olabilmesi k <= 1 olmasını gerektirir. k <= 1 durumunda n=1, 2, 3, 4 için terimler tanımlı olup, n=5 için payda sıfır olduğundan tanımsızlık oluşur. Dolayısıyla en fazla 4 terim tanımlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içi ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme
k−nn−5≥0\frac{k - n}{n - 5} \ge 0 ve n≠5n \neq 5 olmalıdır.
Kareköklü bir ifadenin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir.
2
Dizinin ilk terimi olan a_1'in tanımlı olma koşulunu inceleme
k≤1k \le 1 olmalıdır.
Dizi tanımı gereği n=1 indisinden başlamalıdır. n=1 için payda negatif olduğundan kök içinin pozitif kalabilmesi için payın da negatif ya da sıfır olması gerekir.
3
Tanımlı terimlerin indis sınırını bulma ve terim sayısını hesaplama
Dizi en fazla {a1,a2,a3,a4}\{a_1, a_2, a_3, a_4\} terimlerinden oluşabilir, yani en fazla 4 terimlidir.
k <= 1 iken n=1, 2, 3, 4 için terimler gerçel sayıdır ancak n=5 için payda sıfır olduğundan terim tanımsızdır. Dizi indisleri kesintiye uğrayamayacağı için terim sayısı en fazla 4 olur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin terimlerinin indis kümesi pozitif tam sayılar kümesinin bir alt kümesidir ve her n indisi için genel terim tanımlı olmalıdır.
Soru 13Soru →
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Sıfır
Genel terimin her pozitif tam sayı değeri için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri pozitif bir tam sayı olamaz. Bu durum k≤0k \leq 0 olmasını gerektirir ve kk tam sayısının alabileceği en büyük değer sıfırdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve n parametresinin tanım kümesini belirlemek.
Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi, yani n∈{1,2,3,… }n \in \{1, 2, 3, \dots\} olması gerekir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar olan özel fonksiyonlardır.
2
İfadenin tanımsız olduğu durumu incelemek.
an=3n+5n−ka_n = \frac{3n + 5}{n - k} ifadesinde paydayı sıfır yapan n=kn = k değeri için terim tanımsız olur.
Rasyonel ifadelerde payda sıfır olduğunda ifade tanımsız hale gelir.
3
Tanımsızlık olmaması için k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
Dizinin hiçbir teriminin tanımsız olmaması için kk değerinin hiçbir pozitif tam sayı değerini almaması gerekir. Dolayısıyla, k∉{1,2,3,… }k \notin \{1, 2, 3, \dots\} olmalıdır.
nn pozitif tam sayı olduğundan, kk sayısı pozitif tam sayı olamaz.
4
Koşulu sağlayan en büyük k tam sayısını belirlemek.
k≤0k \leq 0 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan en büyük tam sayı değeri 00 olarak bulunur.
Pozitif tam sayı olmayan en büyük tam sayı sıfırdır.

Anahtar Kavram

Bir gerçel sayı dizisinin genel terimi, tüm pozitif tam sayılar için tanımlı olmalıdır.
Soru 14Soru →

(an)(a_n) bir sonlu dizi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=24−2n−n2+log⁡(5−n)(n+2)a_n = \sqrt{24 - 2n - n^2} + \log_{(5-n)}(n+2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu (an)(a_n) sonlu dizisinin terim sayısı en fazla ka��tır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 3'tür.
Dizinin genel terimini oluşturan kareköklü ifadenin tanımlı olması için n≤4n \leq 4, logaritma tabanının tanımlı olması için n<5n < 5 ile n≠4n \neq 4, logaritmanın içinin tanımlı olması için ise n>−2n > -2 olmalıdır. Bir dizinin terimleri pozitif tam sayılar ile indekslendiğinden bu koşulların tamamını sağlayan değerler 1,21, 2 ve 33'tür. Dolayısıyla dizinin terim sayısı en fazla 3 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
−6≤n≤4-6 \leq n \leq 4
Çift dereceden köklü bir ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan 24−2n−n2≥0  ⟹  n2+2n−24≤0  ⟹  (n+6)(n−4)≤024 - 2n - n^2 \geq 0 \implies n^2 + 2n - 24 \leq 0 \implies (n+6)(n-4) \leq 0 eşitsizliği elde edilir ve bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−6,4][-6, 4] aralığıdır.
2
Logaritmalı ifadenin tanımlı olma koşullarını belirleme
n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Taban için 5−n>0  ⟹  n<55 - n > 0 \implies n < 5 ve 5−n≠1  ⟹  n≠45 - n \neq 1 \implies n \neq 4 elde edilir. Logaritmanın içi için n+2>0  ⟹  n>−2n + 2 > 0 \implies n > -2 elde edilir.
3
Dizi tanımını uygulayarak ortak çözüm kümesini bulma
n∈{1,2,3}n \in \{1, 2, 3\}
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tanım kümesindeki nn değerlerinin pozitif tam sayılar kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanı olması gerekir. Birinci ve ikinci adımlarda elde edilen −6≤n≤4-6 \leq n \leq 4, n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2 koşullarının tamamını sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3}\{1, 2, 3\} elemanlarından oluşur. Bu nedenle dizi en fazla 3 terimlidir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olabilmesi için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması ve genel terimi oluşturan diğer fonksiyonların (karekök, logaritma vb.) gerçek sayılardaki tanım kümeleriyle çelişmemesi gerekir.
Soru 15Soru →
Genel terimi
an=n2−6n+kn+4a_n = \frac{n^2 - 6n + k}{n + 4}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin en küçük terimi a3a_3 olduğuna göre, kk tam sayısı en az kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin en küçük teriminin a_3 olması için k tam sayısı en az 2 olmalıdır.
k = 2 değeri için dizinin terimleri a_2 = a_3 = -1 değerine ulaşır ve bu değer dizinin en küçük terimidir. Daha küçük k değerleri için a_2 terimi a_3'ten daha küçük olacağından en küçük terim a_3 olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
En küçük terim olma koşulunun belirlenmesi
a_3 \leq a_2 ve a_3 \leq a_4
Dizinin en küçük terimi a_3 ise, bu terim sağındaki ve solundaki komşu terimlerden küçük veya eşit olmalıdır.
2
Terimlerin k cinsinden ifadelerinin yaz��lması
a_2 = \frac{k - 8}{6}, a_3 = \frac{k - 9}{7}, a_4 = \frac{k - 8}{8}
Dizinin genel teriminde n yerine sırasıyla 2, 3 ve 4 değerleri yazılır.
3
a3≤a2es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_2 eşitsizliğinin çözülmesi
k≥2k \geq 2
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{6} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
4
a3≤a4es\citsizlig˘ininc\co¨zu¨lmesia_3 \leq a_4 eşitsizliğinin çözülmesi
k≤16k \leq 16
\frac{k - 9}{7} \leq \frac{k - 8}{8} eşitsizliğinde paydalar eşitlenerek k yalnız bırakılır.
5
Eşitsizliklerin birleştirilmesi ve en küçük k tam sayısının bulunması
2 \leq k \leq 16 aralığından k = 2 elde edilir.
k'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri alt sınırdan 2 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük veya en büyük terimini bulmak için, dizinin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan komşu terimlerin kıyaslanması yöntemi kullanılır.
Soru 16Soru →
an=n2−11n+ka_n = \sqrt{n^2 - 11n + k}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

k tam sayısının alabileceği en küçük değer 30'dur.
Dizinin genel teriminin gerçel sayı belirtmesi için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 eşitsizliğinde, 11n−n211n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer tepe noktası r=5.5r = 5.5 civarındaki n=5n=5 ve n=6n=6 değerleri için 30'dur. Dolayısıyla k≥30k \geq 30 olmalıdır ve kk'nın alabileceği en küçük değer 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi kuralını uygulamak.
ana_n ifadesinin bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ (pozitif tam sayılar) değerleri için tanımlı olması gerekir.
Bir dizinin terimleri a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots şeklinde pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlardır.
2
Kareköklü ifadenin reel sayılarda tanımlılık şartını belirlemek.
Kökün içindeki ifade negatif olmamalıdır: Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n2−11n+k≥0n^2 - 11n + k \geq 0 sağlanmalıdır.
Çift dereceli köklü ifadelerin gerçel sayı belirtmesi için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması şarttır.
3
Eşitsizliği kk parametresi cinsinden düzenlemek.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için k≥11n−n2k \geq 11n - n^2 elde edilir.
Parametrenin alabileceği değer aralığını bulmak için bilinmeyen terimleri karşı tarafa toplarız.
4
f(n)=11n−n2f(n) = 11n - n^2 ifadesinin pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulmak.
f(n)f(n) parabolünün tepe noktası r=5.5r = 5.5 apsisli noktadadır. nn tam sayı olması gerektiğinden, tepe noktasına en yakın tam sayılar olan n=5n=5 veya n=6n=6 için en büyük değer elde edilir: f(5)=f(6)=11(5)−52=30f(5) = f(6) = 11(5) - 5^2 = 30.
Karesel bir ifadenin en büyük değeri tepe noktasında veya tepe noktasına en yakın tam sayı değerlerinde elde edilir.
5
kk için alt sınırı belirlemek ve en küçük tam sayı değerini bulmak.
k≥30k \geq 30 olmalıdır. Dolayısıyla kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 30'dur.
Her nn pozitif tam sayısı için eşitsizliğin sağlanabilmesi, kk değerinin bu kümedeki maksimum değerden küçük olmamasına bağlıdır.

Anahtar Kavram

Dizi genel teriminin tanımlı olması için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde yer alması ve bu kümedeki sınır koşullarının incelenmesi.
Soru 17Soru →
(an)(a_n) genel terimi
an=n+82n−ka_n = \frac{n + 8}{2n - k}
olan bir gerçel sayı dizisidir.

Buna göre, kk pozitif tam sayısının alabileceği en küçük iki farklı değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük iki farklı değerin toplamı olan 4 sayısı
Dizinin her pozitif tam sayı için tanımlı olması gerektiğinden, paydayı sıfır yapan n=k2n = \frac{k}{2} değeri pozitif bir tam sayı olmamalıdır. Bu nedenle kk çift sayı olamaz. kk pozitif tek tam sayı olmalıdır ve en küçük iki değer 1 ile 3 olup toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini kontrol etme.
ana_n ifadesinin bir dizi belirtebilmesi için tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için tanımlı olması gerekir. Bu da paydanın hiçbir pozitif tam sayı değeri için sıfır olmaması demektir.
Diziler, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan fonksiyonlardır.
2
Paydayı sıfır yapan değeri bulma.
2n−k=0  ⟹  n=k22n - k = 0 \implies n = \frac{k}{2}
Diziyi tanımsız yapan nn indis değerini kk cinsinden ifade etmek gerekir.
3
Tanımsızlık değerinin pozitif tam sayılar kümesinde bulunmamasını sağlama.
n=k2n = \frac{k}{2} değerinin bir pozitif tam sayı olmaması gerekir. Dolayısıyla kk sayısı çift bir pozitif tam sayı olamaz. Buradan kk sayısının pozitif tek tam sayı olması gerektiği anlaşılır.
kk çift bir tam sayı olursa n=k2n = \frac{k}{2} bir pozitif tam sayı olur ve dizinin ilgili terimi tanımsız kalır.
4
En küçük iki tek pozitif tam sayıyı belirleyip toplama.
kk sayısının alabileceği en küçük iki değer 11 ve 33'tür. Bu değerlerin toplamı 1+3=41 + 3 = 4 olur.
kk pozitif tam sayısı için en küçük tek sayılar seçilerek toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Dizi kavramında genel terimin her pozitif tam sayı (n≥1n \ge 1) için tanımlı olması kuralı.
Soru 18Soru →

Genel terimi

an=n2−8n+122n−15a_n = \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15}

olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.

Buna göre, bu dizinin negatif olan terimlerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin negatif olan terimlerinin sayısı 2'dir.
Doğru cevap olan 2 sayısı, dizinin negatif olan terimlerinin sayısıdır. Genel terimi sıfırdan küçük yapan pozitif tam sayıları bulmak için eşitsizlik çözüldüğünde, n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 aralıkları elde edilir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sırasıyla n=1n = 1 ve n=7n = 7 olup, negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük yapan eşitsizliği yazarız.
an<0  ⟹  n2−8n+122n−15<0a_n < 0 \implies \frac{n^2 - 8n + 12}{2n - 15} < 0
Dizinin negatif terimleri, terim değerinin sıfırdan küçük olduğu durumlardır.
2
Eşitsizliğin pay ve payda kısımlarını sıfıra eşitleyerek köklerini buluruz.
Pay için: n2−8n+12=0  ⟹  (n−2)(n−6)=0  ⟹  n=2n^2 - 8n + 12 = 0 \implies (n-2)(n-6) = 0 \implies n = 2 ve n=6n = 6. Payda için: 2n−15=0  ⟹  n=7,52n - 15 = 0 \implies n = 7,5.
İşaret tablosu oluşturarak ifadenin işaretini incelemek için kritik noktaları belirleriz.
3
Bulduğumuz köklerle işaret tablosu oluşturup ifadenin işaretini inceleriz.
İşaret tablosuna göre, ifadenin negatif olduğu aralıklar n<2n < 2 veya 6<n<7,56 < n < 7,5 olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pay ve paydasının işaret değişimine göre negatif olduğu bölgeleri belirlemek gerekir.
4
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması şartını uygularız.
n<2n < 2 aralığından sadece n=1n = 1 pozitif tam sayısı gelir. 6<n<7,56 < n < 7,5 aralığından ise sadece n=7n = 7 pozitif tam sayısı gelir. Bu durumda negatif olan terimler a1a_1 ve a7a_7 olmak üzere 2 tanedir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olduğundan, çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları seçeriz.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin dizi genel terimi olabilmesi ve terimlerinin incelenmesinde tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması şartı.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
Genel terimi
an=4n−18n+1a_n = \frac{4n - 18}{n + 1}
olan (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin kaç terimi negatiftir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin negatif olan terim sayısı 4'tür.
Dizinin genel terimini negatif yapan nn pozitif tam sayıları belirlendiğinde n<4,5n < 4,5 eşitsizliği elde edilir. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44 olduğundan dizinin tam olarak 4 tane terimi negatiftir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin negatif terimlerini bulmak için genel terimi sıfırdan küçük eşitleyin.
4n−18n+1<0\frac{4n - 18}{n + 1} < 0
Dizinin hangi terimlerinin negatif değerli olduğunu tespit etmek amacıyla an<0a_n < 0 eşitsizliğini çözmemiz gerekir.
2
Dizi tanım kümesi koşulunu kullanarak paydanın işaretini belirleyin.
Her n≥1n \ge 1 için n+1>0n + 1 > 0 olur.
Dizilerin indis kümesi pozitif tam sayılardan oluştuğu için nn daima en az 1 değerini alır ve payda her zaman pozitif kalır.
3
Eşitsizliği sadeleştirip nn için bir üst sınır bulun.
4n−18<0⇒n<4,54n - 18 < 0 \Rightarrow n < 4,5
Payda pozitif olduğundan, kesirli ifadenin negatif çıkabilmesi için pay kısmının negatif olması şarttır.
4
nn değerinin alabileceği pozitif tam sayı değerlerini listeleyin.
n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} olup toplam 4 tanedir.
Dizi indisi nn sadece pozitif tam sayılar olabileceğinden, 4,5'ten küçük pozitif tam sayılar çözümü oluşturur.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi sınırlaması ve genel terim eşitsizlik çözümü

Alternatif Yöntem

Dizinin ilk birkaç terimi sırayla yazılıp işaretleri kontrol edilebilir: a1=4(1)−181+1=−7<0a_1 = \frac{4(1)-18}{1+1} = -7 < 0, a2=8−183=−103<0a_2 = \frac{8-18}{3} = -\frac{10}{3} < 0, a3=12−184=−1.5<0a_3 = \frac{12-18}{4} = -1.5 < 0, a4=16−185=−0.4<0a_4 = \frac{16-18}{5} = -0.4 < 0, a5=20−186=13>0a_5 = \frac{20-18}{6} = \frac{1}{3} > 0. Böylece sadece ilk 4 terimin negatif olduğu doğrudan görülür.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 20Soru →

(an)(a_n) dizisinin genel terimi

an=n2−(k+3)n+4ka_n = \sqrt{n^2 - (k+3)n + 4k}

olarak veriliyor.

Bu ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için kk gerçel sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [3, 5]

Cevap

Sınır noktalarını da kapsayan üç ile beş kapalı aralığıdır.
Dizi tanımı gereği genel terim her pozitif tam sayı nn için tanımlı olmalıdır. Kareköklü bir genel terimin her pozitif tam sayı için gerçel sayı belirtmesi ise kök içinin negatif olmamasını gerektirir. n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 ifadesi (n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, kökler 44 ve kk olur. İşaret tablosuna göre bu ifadenin negatif olduğu tek yer bu iki kök arasıdır. Pozitif tam sayılarda tanımsızlık olmaması için bu kökler arasına hiçbir pozitif tam sayı girmemelidir. kk sayısı en küçük 33 (3 ile 4 arasında tam sayı yoktur), en büyük 55 (4 ile 5 arasında tam sayı yoktur) olabilir. Dolayısıyla kk değerlerinin kümesi üç ile beş kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık şartını belirleyin.
n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 eşitsizliği her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sağlanmalıdır.
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisinde tanımlı ve gerçel sayı olması, yani karekökün içinin negatif olmaması gerekir.
2
Karekök içerisindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
(n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 eşitsizliği elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulmak ve işaret incelemesini kolaylaştırmak için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Eşitsizliğin pozitif tam sayılarda her zaman sağlanma koşulunu köklerin konumuna göre analiz edin.
İfadenin kökleri 44 ve kk sayılarıdır. Çarpımın negatif olduğu bölge bu iki kökün arasıdır. Dolayısıyla bu iki kök arasındaki açık aralıkta hiçbir pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) bulunmamalıdır.
Eğer kökler arasında bir pozitif tam sayı kalırsa, o terim için genel terimin içi negatif olur ve dizi tanımsızlaşır.
4
Kökler arasındaki aralıkta pozitif tam sayı bulunmaması için sınır durumlarını inceleyin.
Eğer k<3k < 3 olursa 33 pozitif tam sayısı kk ile 44 arasında kalır. Eğer k>5k > 5 olursa 55 pozitif tam sayısı 44 ile kk arasında kalır. Bu durumda 3≤k≤53 \leq k \leq 5 olmalıdır.
Sınır değerleri olan 3 ve 5 değerleri kök aralığının sınırında olduğu için aralığın içine tam sayı düşmesini engeller. Bu değerler test edildiğinde de eşitsizliği her pozitif tam sayı için sıfır veya sıfırdan büyük yaptığı görülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi kısıtı ve genel terimin pozitif tam sayılarda tanımlı olma şartı
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Dizi Kavramı ve Genel Terim Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin