Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizi Kavramı ve Genel Terim
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=5n−32n2−11n+ka_n = \frac{5n - 3}{2n^2 - 11n + k}
ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 55

Cevap

Dizinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı 55'tir.
Dizinin genel teriminde payda sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfır yapan 2n2−11n+k=02n^2 - 11n + k = 0 denkleminden k=11n−2n2k = 11n - 2n^2 elde edilir. kk pozitif tam sayısı için 11n−2n2>011n - 2n^2 > 0 olmalıdır, bu da 0<n<5,50 < n < 5,5 aralığındaki nn pozitif tam sayıları (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) için geçerlidir. Bu nn değerleri için kk değerleri sırasıyla 9,14,15,12,59, 14, 15, 12, 5 bulunur ve bu değerlerin toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi özelliğini kullanarak paydayı sıfır yapan denklemi kurmak
2n2−11n+k=0  ⟹  k=11n−2n22n^2 - 11n + k = 0 \implies k = 11n - 2n^2
Diziler pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu durumlarda ifade tanımsız olacağından, dizinin tanımlı olmasını engelleyen kk değerleri paydanın sıfır olduğu durumlardan elde edilir.
2
kk pozitif tam sayı şartına göre nn indisinin alabileceği değer aralığını belirlemek
n∈{1,2,3,4,5}n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
k>0  ⟹  11n−2n2>0  ⟹  n(11−2n)>0k > 0 \implies 11n - 2n^2 > 0 \implies n(11 - 2n) > 0. Buradan 0<n<5,50 < n < 5,5 elde edilir. nn ifadesi bir indis olduğundan pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Her bir nn değeri için kk değerlerini hesaplamak
k∈{5,9,12,14,15}k \in \{5, 9, 12, 14, 15\}
n=1  ⟹  k=9n = 1 \implies k = 9, n=2  ⟹  k=14n = 2 \implies k = 14, n=3  ⟹  k=15n = 3 \implies k = 15, n=4  ⟹  k=12n = 4 \implies k = 12, n=5  ⟹  k=5n = 5 \implies k = 5 olarak bulunur.
4
Elde edilen kk değerlerini toplamak
5+9+12+14+15=555 + 9 + 12 + 14 + 15 = 55
Soruda dizinin belirtilmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerleri dizinin tanımlı olmasını engeller.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru