Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizi ve Özellikleri

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için,

a5−a1=15a_5 - a_1 = 15
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin altıncı terimi (a6a_6) kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    16
  3. C
    24
  4. 32Cevap
  5. E
    64

Cevap

Dizinin altıncı terimi 32'dir.
Verilen denklem sisteminde terimler geometrik dizi tanımına uygun olarak ilk terim ve ortak çarpan cinsinden yazılıp oranlandığında, ortak çarpan r=2r = 2 ve ilk terim a1=1a_1 = 1 olarak elde edilir. Bu bilgilerle dizinin altıncı terimi a6=a1⋅r5=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 32 olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim (a1a_1) ve ortak çarpan (rr) cinsinden yazalım.
a5=a1⋅r4a_5 = a_1 \cdot r^4, a4=a1⋅r3a_4 = a_1 \cdot r^3, a2=a1⋅ra_2 = a_1 \cdot r ifadelerini elde ederiz.
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} şeklindedir.
2
Verilen denklemleri ortak çarpan parantezine alarak taraf tarafa oranlayalım.
Taraf tarafa oranlama sonucunda a1(r4−1)a1r(r2+1)=1510  ⟹  (r2−1)(r2+1)r(r2+1)=32\frac{a_1(r^4-1)}{a_1 r(r^2+1)} = \frac{15}{10} \implies \frac{(r^2-1)(r^2+1)}{r(r^2+1)} = \frac{3}{2} elde edilir. Buradan r2−1r=32\frac{r^2-1}{r} = \frac{3}{2} olur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek a1a_1 terimini yok etmek ama��lanır.
3
Elde edilen r'ye bağlı denklemi çözelim.
2r2−3r−2=0  ⟹  (2r+1)(r−2)=02r^2 - 3r - 2 = 0 \implies (2r + 1)(r - 2) = 0 olur. Terimler pozitif olduğu için ortak çarpan pozitif olmalıdır, dolayısıyla r=2r = 2 seçilir.
Geometrik dizinin tüm terimlerinin pozitif gerçel sayılardan oluştuğu belirtilmiştir.
4
İlk terim olan a1a_1 değerini hesaplayalım.
a1⋅2⋅(22+1)=10  ⟹  10a1=10  ⟹  a1=1a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 10 \implies 10 a_1 = 10 \implies a_1 = 1 bulunur.
a4+a2=10a_4 + a_2 = 10 denkleminde r=2r = 2 yazılarak a1a_1 değeri çekilir.
5
Dizinin altıncı terimi olan a6a_6 değerini bulalım.
a6=a1⋅r5=1⋅25=32a_6 = a_1 \cdot r^5 = 1 \cdot 2^5 = 32 elde edilir.
Bulunan ilk terim ve ortak çarpan değerleri genel terim formülünde yerine yerleştirilir.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin genel terim özellikleri ve terimler arasındaki cebirsel ilişkiler.
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru