Examkin

Soru

Zorluk: KolayGeometrik Dizi ve Özellikleri

Aşağıdaki cümlede boş bırakılan yerleri uygun sayılarla doldurunuz.

Cevap:Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı 【2】 ve dizinin altıncı terimi a6a_6 değeri 【16】 olur.

Cevap

Ortak çarpan 2, altıncı terim 16'dır.
Verilen geometrik dizide a3=2a_3 = 2 ve a9=128a_9 = 128 değerleri kullanılarak a9=a3⋅r6a_9 = a_3 \cdot r^6 eşitliğinden r6=64r^6 = 64 ve pozitif terimlilik şartından r=2r = 2 elde edilir. Altıncı terim olan a6a_6 ise a3a_3 ile a9a_9 terimlerine eşit uzaklıkta bulunduğundan geometrik ortalama özelliğinden a6=2⋅128=16a_6 = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiden ortak çarpan (r) belirlenir.
a9=a3⋅r6⇒128=2⋅r6⇒r6=64⇒r=2a_9 = a_3 \cdot r^6 \Rightarrow 128 = 2 \cdot r^6 \Rightarrow r^6 = 64 \Rightarrow r = 2 bulunur.
Geometrik dizilerde ardışık terimler arasındaki oran sabit olup an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} ilişkisi geçerlidir. Dizinin tüm terimlerinin pozitif olduğu belirtildiğinden ortak çarpan pozitif seçilir (r=2r = 2).
2
Dizinin altıncı terimi (a6a_6) hesaplanır.
a6=a3⋅r3=2⋅23=16a_6 = a_3 \cdot r^3 = 2 \cdot 2^3 = 16 veya terimlerin simetrik konumda bulunmasından hareketle a6=a3⋅a9=2⋅128=16a_6 = \sqrt{a_3 \cdot a_9} = \sqrt{2 \cdot 128} = 16 bulunur.
Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir (a62=a3⋅a9a_6^2 = a_3 \cdot a_9).

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimler arasındaki ortak çarpan ilişkisi ve indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpım özelliklerinin uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru