Examkin

Soru

Zorluk: KolayGeometrik Dizi ve Özellikleri
Pozitif terimli bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,
a4=3a_4 = 3
a10=27a_{10} = 27
olduğuna göre, bu dizinin yedinci terimi (a7a_7) kaçtır?
  1. A
    66
  2. 99Cevap
  3. C
    939\sqrt{3}
  4. D
    1515
  5. E
    2121

Cevap

Dokuz
Doğru cevap dokuzdur. Geometrik dizinin an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği gereğince, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıkta olduğundan a72=a4⋅a10=3⋅27=81a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} = 3 \cdot 27 = 81 olur. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Geometrik dizilerde eşit uzaklıktaki terimlerin çarpım özelliğini belirleyelim.
Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi, kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. Formül olarak: an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k}
Dizinin verilen a4a_4 ve a10a_{10} terimleri ile istenen a7a_7 terimi arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
Verilen terimlerin indislerinin ortalamasını bularak a7a_7 terimi ile ilişkisini kuralım.
4 ve 10 indislerinin aritmetik ortalaması (4+10)/2=7(4 + 10)/2 = 7 olduğundan, a7a_7 terimi a4a_4 ve a10a_{10} terimlerine eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla a72=a4⋅a10a_7^2 = a_4 \cdot a_{10} eşitliği yazılır.
a7a_7 teriminin karesinin diğer iki terimin çarpımına eşit olduğunu göstermek için.
3
Verilen değerleri formülde yerine yazarak a7a_7 terimini hesaplayalım.
a72=3⋅27=81a_7^2 = 3 \cdot 27 = 81 bulunur. Buradan a7=9a_7 = 9 veya a7=−9a_7 = -9 elde edilir. Dizi pozitif terimli olduğundan a7=9a_7 = 9 olmalıdır.
Yedinci terimin değerini bulmak ve pozitif terimli olma şartını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide bir terimin kendisine eşit uzaklıktaki terimlerin geometrik ortalaması olması özelliği (an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k})
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru