Bir (a_n) dizisinin ilk terimi a_1 = 5 olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, her n \in \mathbb{Z}^+ için (n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n\neşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, bu dizinin onuncu terimi olan a_{10} değeri kaçtır?

Bir (a_n) dizisinin ilk terimi a_1 = 5 olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, h… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

dizisinin ilk terimi

a_1 = 5

olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, her

n \in \mathbb{Z}^+

için

(n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, bu dizinin onuncu terimi olan $a_{10}$ değeri kaçtır?

Dizinin onuncu terimi olan

\frac{19}{2}

Dizinin genel terimini bulmak için

b_n = n \cdot a_n

dönüşümü yapılır. Bu durumda verilen indirgeme bağıntısı

b_{n+1} - b_n = 2n

şekline dönüşür. İlk terim

b_1 = 1 \cdot a_1 = 5

olarak bulunur. Bağıntı

n=1

ile

n=9

arasındaki değerler için taraf tarafa toplandığında

b_{10} = b_1 + \sum_{k=1}^{9} 2k = 5 + 90 = 95

elde edilir. Buradan

10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{95}{10} = \frac{19}{2}

sonucuna ulaşılır.

b_n = n \cdot a_n

değişken dönüşümünün tanımlanması ve başlangıç koşulunun belirlenmesi

b_{n+1} - b_n = 2n

b_1 = 5

elde edilir.

Katsayısı değişken olan terimleri sadeleştirmek ve indirgeme bağıntısını daha basit bir forma getirmek için bu dönüşüm uygulanır.

n

değerlerine 1'den 9'a kadar değerler verilerek elde edilen eşitliklerin taraf tarafa toplanması

b_{10} - b_1 = \sum_{k=1}^{9} 2k = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90

olur.

Teleskobik toplam (birbirini götüren terimler) yöntemiyle doğrudan

b_{10}

terimine ulaşmak hedeflenir.

b_{10}

değerinin hesaplanması ve orijinal dizi terimi

a_{10}

'a geri dönülmesi

b_{10} = 95 \implies 10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{19}{2}

olarak bulunur.

b_{10} = 10 \cdot a_{10}

eşitliği kullanılarak aranan

a_{10}

terimi elde edilir.

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (

b_n = n \cdot a_n

) yardımıyla bağıntının basitleştirilmesi ve teleskobik toplam yöntemiyle terim hesabı.