Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİndirgemeli Diziler
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n
bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=12a_1 = 12 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi olan a6a_6 kaçtır?

  1. A
    125\frac{12}{5}
  2. B
    3
  3. C
    4
  4. 2Cevap
  5. E
    6

Cevap

Dizinin altıncı terimi 2'dir.
Verilen an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yazılıp elde edilen eşitlikler taraf tarafa çarpıldığında, eşitliğin her iki tarafındaki a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1 eşitliğinde a1=12a_1 = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 2 olarak bulunur. Bu durum 2 değerinin yer aldığı seçeneği doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgeme bağıntısını n=1n=1 değerinden başlayarak n=5n=5 değerine kadar yazalım.
n=1n=1 için: a2=12⋅a1a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1
n=2n=2 için: a3=23⋅a2a_3 = \frac{2}{3} \cdot a_2
n=3n=3 için: a4=34⋅a3a_4 = \frac{3}{4} \cdot a_3
n=4n=4 için: a5=45⋅a4a_5 = \frac{4}{5} \cdot a_4
n=5n=5 için: a6=56⋅a5a_6 = \frac{5}{6} \cdot a_5
İstenen terim olan a6a_6'ya ulaşmak için ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmamız gerekir.
2
Elde edilen bu eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(12⋅23⋅34⋅45⋅56)⋅(a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5)a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5)
Çarpımsal indirgemeli dizilerde terimleri sadeleştirmek için taraf tarafa çarpma yöntemi (teleskopik çarpım) kullanılır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri (a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5) ve rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1
Sadeleştirmeler sonucunda dizinin altıncı terimi ile birinci terimi arasında doğrudan bir ilişki kalır.
4
a1=12a_1 = 12 değerini yerine yazarak a6a_6 değerini hesaplayalım.
a6=16⋅12=2a_6 = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2
Başlangıç koşulu kullanılarak aranan terimin sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpımsal indirgemeli dizilerde teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemi kullanılarak genel terim veya belirli bir terim elde edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru