Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

lim⁡x→0a+xsin⁡(3x)−a−xsin⁡(3x)cos⁡(2x)−1=b\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a + x \sin(3x)} - \sqrt{a - x \sin(3x)}}{\cos(2x) - 1} = b

eşitliği veriliyor.

b<0b < 0 olduğuna göre, a⋅b2a \cdot b^2 çarpımının değeri kaçtır?

  1. A
    916\frac{9}{16}
  2. B
    34\frac{3}{4}
  3. 94\frac{9}{4}Cevap
  4. D
    4
  5. E
    9

Cevap

9/4 değeri
Limit hesaplandığında b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} bulunur. Buradan a=−32b\sqrt{a} = -\frac{3}{2b} ve her iki tarafın karesi alınarak a⋅b2=94a \cdot b^2 = \frac{9}{4} değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunu tespit etme
x→0x \to 0 için pay a−a=0\sqrt{a} - \sqrt{a} = 0 ve payda cos⁡(0)−1=0\cos(0) - 1 = 0 olup 00\frac{0}{0} belirsizliği vardır.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü belirlemek gerekir.
2
Payın eşleniği ile çarpma işlemi
İfadenin pay ve paydası a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x)\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)} ile çarpıldığında pay kısmı (a+xsin⁡(3x))−(a−xsin⁡(3x))=2xsin⁡(3x)(a + x\sin(3x)) - (a - x\sin(3x)) = 2x\sin(3x) olur.
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır.
3
Paydadaki trigonometrik ifadeyi yarım açı formülü ile yazma
Paydadaki cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesi yerine −2sin⁡2(x)-2\sin^2(x) yazılır.
Limit sadeleştirmesi yapabilmek için paydadaki ifadeyi sin⁡(x)\sin(x) cinsinden ifade etmek gerekir.
4
Limiti çarpanlarına ayırarak hesaplama
Limit lim⁡x→0[xsin⁡(x)⋅sin⁡(3x)sin⁡(x)⋅2−2(a+xsin⁡(3x)+a−xsin⁡(3x))]\lim_{x \to 0} \left[ \frac{x}{\sin(x)} \cdot \frac{\sin(3x)}{\sin(x)} \cdot \frac{2}{-2(\sqrt{a + x\sin(3x)} + \sqrt{a - x\sin(3x)})} \right] şeklinde yazılır. x→0x \to 0 için limit değerleri sırasıyla 11, 33 ve −12a-\frac{1}{2\sqrt{a}} olup çarpımları b=−32ab = -\frac{3}{2\sqrt{a}} olur.
Bilinen lim⁡u→0sin⁡(u)u=1\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1 limit özelliğini kullanabilmek için ifade düzenlenir.
5
İstenen çarpım değerini bulma
b=−32a  ⟹  a=−32b  ⟹  a=94b2  ⟹  a⋅b2=94b = -\frac{3}{2\sqrt{a}} \implies \sqrt{a} = -\frac{3}{2b} \implies a = \frac{9}{4b^2} \implies a \cdot b^2 = \frac{9}{4} bulunur.
Elde edilen limit eşitliğinden yararlanılarak a⋅b2a \cdot b^2 değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak limit hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru