Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
lim⁡x→4x2−16x−2\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{\sqrt{x} - 2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 32

Cevap

Limitin değeri 32'dir.
x = 4 değeri yerine yazıldığında oluşan 0/0 belirsizliği, pay kısmındaki x^2 - 16 ifadesinin (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) şeklinde çarpanlarına ayrılması ve paydadaki √x - 2 terimiyle sadeleştirilmesi yoluyla giderilir. Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazıldığında limitin gerçek değeri 32 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit noktası olan x = 4 değerini fonksiyonda yerine yazarak belirsizlik durumunu tespit etmek.
Pay kısmında 4^2 - 16 = 0, payda kısmında ise √4 - 2 = 0 elde edilir. Bu durum 0/0 belirsizliğidir.
Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan yerine yazma yöntemiyle belirsizlik olup olmadığı kontrol edilmelidir.
2
Paydaki ifadeyi paydadaki köklü çarpanı sadeleştirebilecek biçimde çarpanlar��na ayırmak.
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) özdeşliği yazılır. Daha sonra x - 4 ifadesi (√x - 2)(√x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılarak pay ifadesi (√x - 2)(√x + 2)(x + 4) haline getirilir.
0/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve paydadaki ortak sıfır çarpanı (√x - 2) ortaya çıkarılmalıdır.
3
Pay ve paydadaki ortak olan (√x - 2) terimlerini sadeleştirmek.
İfade lim_{x -> 4} (√x + 2)(x + 4) biçimine sadeleşir.
x, 4 değerine yaklaşırken x asla 4'e eşit olmadığından √x - 2 terimi sıfırdan farklıdır ve sadeleştirilebilir.
4
Sadeleşmiş ifadede x yerine 4 yazarak nihai limit değerini hesaplamak.
(√4 + 2)(4 + 4) = (2 + 2) * 8 = 4 * 8 = 32 bulunur.
Belirsizlik giderildikten sonra geriye kalan polinomyal ve köklü ifadeler tanımlı oldukları aralıkta sürekli olduğundan limit değeri doğrudan yerine yazarak elde edilir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadeler İçeren 0/0 Belirsizliklerinde Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru