Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği (1,−4)(1, -4) noktasından geçmektedir.
lim⁡x→3f(x)x+1−2=16\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{\sqrt{x+1} - 2} = 16
olduğuna göre,
lim⁡x→−1f(x2−2)x3+2x2+2x+1\lim_{x \to -1} \frac{f(x^2 - 2)}{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}
limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 8

Cevap

Limit değeri 8 olarak bulunur.
Verilen ilk limit denkleminden f(3)=0f(3) = 0 olduğu tespit edilip limitin eşlenik yardımıyla çözülmesiyle 3a+b=43a+b=4 denklemine ulaşılır. Parabolün geçtiği nokta kullanılarak a+b=2a+b=2 bulunur ve f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) fonksiyonu elde edilir. İkinci limit ifadesinde pay ve payda çarpanlarına ayrılıp belirsizlik oluşturan x+1x+1 terimleri sadeleştirildikten sonra limit değeri 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın limitini kontrol ederek f(3)f(3) değerini belirlemek.
lim⁡x→3(x+1−2)=0\lim_{x \to 3} (\sqrt{x+1} - 2) = 0 olduğundan, limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için payın limiti de sıfır olmalıdır, yani f(3)=0f(3) = 0 bulunur. Bu durumda f(x)f(x) fonksiyonu f(x)=(x−3)(ax+b)f(x) = (x-3)(ax+b) formunda yazılabilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayı çıkması ancak payın da sıfıra yaklaşarak 0/00/0 belirsizliği oluşturması ile mümkündür.
2
Limit ifadesinde f(x)f(x) yerine yazılıp belirsizlik giderilerek ilk denklemi elde etmek.
lim⁡x→3(x−3)(ax+b)x+1−2=lim⁡x→3(x−3)(ax+b)(x+1+2)x−3=lim⁡x→3(ax+b)(x+1+2)=4(3a+b)\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)}{\sqrt{x+1} - 2} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(ax+b)(\sqrt{x+1} + 2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (ax+b)(\sqrt{x+1} + 2) = 4(3a+b) olur. Buradan 4(3a+b)=16  ⟹  3a+b=44(3a+b) = 16 \implies 3a+b = 4 elde edilir.
Paydadaki köklü ifadenin eşleniğiyle pay ve paydayı çarparak belirsizliğe neden olan x−3x-3 çarpanını sadeleştirmek gerekir.
3
f(x)f(x) parabolünün (1,−4)(1, -4) noktasından geçmesi özelliğini kullanarak ikinci denklemi oluşturmak.
f(1)=(1−3)(a+b)=−4  ⟹  −2(a+b)=−4  ⟹  a+b=2f(1) = (1-3)(a+b) = -4 \implies -2(a+b) = -4 \implies a+b = 2 elde edilir.
Fonksiyonun geçtiği nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek f(x)f(x) fonksiyonunu bulmak.
3a+b=43a+b = 4 ve a+b=2a+b = 2 denklemleri ortak çözüldüğünde a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan f(x)=(x−3)(x+1)f(x) = (x-3)(x+1) olarak elde edilir.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa çıkararak bilinmeyen katsayıları hesaplamak mümkündür.
5
f(x2−2)f(x^2 - 2) ifadesini ve limit paydasını çarpanlarına ayırmak.
f(x2−2)=(x2−2−3)(x2−2+1)=(x2−5)(x2−1)=(x2−5)(x−1)(x+1)f(x^2 - 2) = (x^2 - 2 - 3)(x^2 - 2 + 1) = (x^2 - 5)(x^2 - 1) = (x^2 - 5)(x-1)(x+1) elde edilir. Payda ise x3+2x2+2x+1=(x3+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2−x+1)+2x(x+1)=(x+1)(x2+x+1)x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1) olarak çarpanlarına ayrılır.
x→−1x \to -1 iken limit ifadesinde oluşan 0/00/0 belirsizliğini gidermek amacıyla pay ve payda ortak çarpanlarına ayrılır.
6
Ortak çarpanları sadeleştirerek limiti hesaplamak.
lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)(x+1)(x+1)(x2+x+1)=lim⁡x→−1(x2−5)(x−1)x2+x+1=((−1)2−5)(−1−1)(−1)2+(−1)+1=(−4)(−2)1=8\lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x^2 - 5)(x-1)}{x^2 + x + 1} = \frac{((-1)^2 - 5)(-1-1)}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{(-4)(-2)}{1} = 8 bulunur.
Pay ve paydadaki sıfır yapan x+1x+1 terimleri sadeleşince belirsizlik giderilir ve doğrudan limit noktası yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Limitlerde 0/0 Belirsizliği ve Sadeleştirme Yöntemi
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru