Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı S_3 ve ilk 6 teriminin toplamı S_6'dır. \fra… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir geometrik dizinin ilk 3 teriminin toplamı $S_3$ ve ilk 6 teriminin toplamı $S_6$ 'dır.

\frac{S_6}{S_3} = 9

olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

Cevap: 2

Ortak çarpan 2'dir.

Dizinin ilk 6 teriminin toplamının ilk 3 teriminin toplamına oranı yazıldığında

a_1

terimleri ve paydadaki

r-1

ifadeleri sadeleşir. Kalan

\frac{r^6-1}{r^3-1}

ifadesi iki kare farkı yardımıyla sadeleştirildiğinde

r^3 + 1

elde edilir. Bu ifade 9'a eşitlendiğinde

r^3 = 8

ve dolayısıyla

r = 2

bulunur.

İlk n terim toplamı formülünü tanımlamak

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

Geometrik dizide ilk terimlerin toplamını ortak çarpan

r

ve ilk terim

a_1

cinsinden ifade etmek için.

Verilen oran ifadesini formül cinsinden yazmak

\frac{S_6}{S_3} = \frac{r^6 - 1}{r^3 - 1}

Ortak çarpan

r

değerini bulabilmek amacıyla ilk terim

a_1

ve ortak payda olan

r-1

ifadelerini sadeleştirmek için.

Çarpanlara ayırma özdeşliğini uygulamak

\frac{S_6}{S_3} = r^3 + 1

r^6 - 1 = (r^3 - 1)(r^3 + 1)

iki kare farkı açılımını kullanarak

r^3-1

ifadelerini sadeleştirmek için.

Oluşan denklemi çözerek ortak çarpanı bulmak

r = 2

r^3 + 1 = 9 \implies r^3 = 8

eşitliğini sağlayan reel sayı değerini belirlemek için.

Geometrik dizilerde ilk n terim toplamı formülünün kullanılması ve çarpanlara ayırma yardımıyla ortak çarpanın çekilmesi.

Soru