Pozitif terimli ve artan bir (a_n) geometrik dizisinde ilk terim a_1 = \log_3 x ve ortak ç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif terimli ve artan bir $(a_n)$ geometrik dizisinde ilk terim $a_1 = \log_3 x$ ve ortak çarpan $r = \log_x 27$ olarak tanımlanıyor.

Bu dizinin ilk üç teriminin toplamı $13$ olduğuna göre, ilk beş teriminin toplamı kaçtır?

Cevap: 121

İlk beş terimin toplamı 121'dir.

Logaritma özellikleri kullanılarak dizinin terimleri

a_1 = \log_3 x

a_2 = 3

a_3 = \frac{9}{\log_3 x}

şeklinde elde edilir. Bu terimlerin toplamı

13

'e eşitlendiğinde

\log_3 x = 1

\log_3 x = 9

olmak üzere iki kök bulunur. Dizinin artan olması için ortak çarpanın

r > 1

olması gerektiğinden

a_1 = 1

r = 3

durumunu sağlayan

\log_3 x = 1

kökü kabul edilir. İlk

5

terimin toplamı ise

S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 121

olarak hesaplanır.

Dizinin genel terim tanımını kullanarak ikinci ve üçüncü terimleri

x

cinsinden ifade etmek.

a_2 = a_1 \cdot r = \log_3 x \cdot \log_x 27 = \log_3 27 = 3

a_3 = a_2 \cdot r = 3 \cdot \log_x 27 = 3 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} = \frac{9}{\log_3 x}

Dizinin tüm terimlerini ortak bir logaritmik tabanda yazarak denklemi basitleştirmek.

İlk üç terimin toplamı olan

S_3 = 13

eşitliğini kurmak.

a_1 + a_2 + a_3 = \log_3 x + 3 + \frac{9}{\log_3 x} = 13 \implies \log_3 x + \frac{9}{\log_3 x} = 10

Bilinmeyen logaritmik ifadeyi belirlemek üzere bir denklem elde etmek.

\log_3 x = u

dönüşümü yaparak oluşan rasyonel denklemi çözmek.

u + \frac{9}{u} = 10 \implies u^2 - 10u + 9 = 0 \implies (u-1)(u-9) = 0 \implies u = 1

veya

u = 9

İkinci dereceden denklemin köklerini bularak

a_1

teriminin alabileceği değerleri tespit etmek.

Dizinin 'artan' olma koşulunu kullanarak uygun olan

u

değerini seçmek.

u = 9 \implies a_1 = 9

r = \log_x 27 = \frac{3}{\log_3 x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

olur. Ortak çarpan

r < 1

olduğundan bu dizi azalandır.

u = 1 \implies a_1 = 1

r = \frac{3}{1} = 3

olur. Ortak çarpan

r > 1

olduğundan bu dizi artandır. Dolayısıyla

a_1 = 1

r = 3

değerleri seçilir.

Soruda verilen 'artan geometrik dizi' şartını sağlayan tek durumu belirlemek.

Geometrik dizide ilk

n

terim toplamı formülü olan

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

ifadesini

n = 5

için uygulamak.

S_5 = 1 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = 121

Dizinin ilk beş teriminin toplam değerini hesaplamak.

Geometrik dizinin ilk n terim toplamı ve logaritmik ifadelerde taban değiştirme kuralı.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru