Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorGeometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn terim toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizinin terimleri sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanının alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    -2
  3. C
    2
  4. 4Cevap
  5. E
    8

Cevap

Ortak çarpanın alabileceği farklı gerçel sayı değerlerinin çarpımı 4'tür.
Verilen S6−S4=4(S4−S2)S_6 - S_4 = 4(S_4 - S_2) denkleminde terimler geometrik dizi cinsinden açıldığında a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) eşitliğine ulaşılır. Burada a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0 olduğundan sadeleştirme sonrası denklem r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2-4) = 0 şeklini alır. Bu denklemi sağlayan rr gerçel sayı değerleri −1-1, 22 ve −2-2'dir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı farklarını dizinin terimleri cinsinden ifade edelim.
S6−S4=a5+a6S_6 - S_4 = a_5 + a_6 ve S4−S2=a3+a4S_4 - S_2 = a_3 + a_4 olur.
İlk n terim toplamının tanımı gereği, ilk 6 terim toplamından ilk 4 terim toplamı çıkarıldığında geriye 5. ve 6. terimler kalır.
2
Terimleri dizinin ilk terimi (a1a_1) ve ortak çarpanı (rr) cinsinden yazıp ortak paranteze alalım.
a5+a6=a1r4+a1r5=a1r4(1+r)a_5 + a_6 = a_1 r^4 + a_1 r^5 = a_1 r^4(1+r)
a3+a4=a1r2+a1r3=a1r2(1+r)a_3 + a_4 = a_1 r^2 + a_1 r^3 = a_1 r^2(1+r)
Geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1rn−1a_n = a_1 r^{n-1} ilişkisini kullanmak için.
3
Elde ettiğimiz ifadeleri verilen eşitlikte yerine koyalım ve sadeleştirelim.
a1r4(1+r)=4a1r2(1+r)a_1 r^4(1+r) = 4 a_1 r^2(1+r) denklemi elde edilir. Dizinin terimleri sıfırdan farklı olduğundan a1≠0a_1 \neq 0 ve r≠0r \neq 0'dır. Eşitliğin her iki tarafını a1r2a_1 r^2 ile bölersek r2(1+r)=4(1+r)r^2(1+r) = 4(1+r) kalır.
Denklemi sadeleştirerek ortak çarpan rr için çözülebilir bir polinom haline getirmek için.
4
Olası kökleri kaybetmemek için denklemi tek bir tarafta toplayıp çarpanlarına ayıralım.
r2(1+r)−4(1+r)=0  ⟹  (1+r)(r2−4)=0  ⟹  (1+r)(r−2)(r+2)=0r^2(1+r) - 4(1+r) = 0 \implies (1+r)(r^2 - 4) = 0 \implies (1+r)(r-2)(r+2) = 0 denklemi bulunur.
1+r1+r ifadesini doğrudan sadeleştirmek yerine paranteze almak, 1+r=01+r=0 kökünün (kök kaybının) önüne geçer.
5
Çarpanları sıfıra eşitleyerek rr değerlerini bulalım ve bu değerleri çarpalım.
r=−1r = -1, r=2r = 2 ve r=−2r = -2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin çarpımı (−1)⋅2⋅(−2)=4(-1) \cdot 2 \cdot (-2) = 4 olarak hesaplanır.
Ortak çarpanın alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin çarpımını bulmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin terim toplamları arasındaki fark ilişkileri ve cebirsel denklemlerin kök kaybı yaşanmadan çözülmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru