Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün yy-eksenini kestiği noktanın ordinatı 66'dır. Parabolün tepe noktasının apsisi −12-\frac{1}{2} ve xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 55 birimdir. Buna göre, parabolün başkatsayısı olan aa değeri kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

Parabolün başkatsayısı olan aa değeri −1-1 olarak bulunur.
Parabolün yy-eksenini kestiği noktadan c=6c=6 ve tepe noktası apsisinden b=ab=a bulunur. Kökler arası uzaklık formülü Δ∣a∣=5\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5 kullanılarak Δ=a2−24a\Delta = a^2 - 24a ifadesi yerine yazıldığında a2−24a=25a2a^2 - 24a = 25a^2 karesel denklemi elde edilir. Buradan a=−1a = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
y-eksenini kestiği noktayı kullanarak c parametresini belirleme
c=6c = 6
Parabolün y-eksenini kestiği nokta f(0)f(0) değeridir. f(0)=a(0)2+b(0)+c=c=6f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c = 6 olur.
2
Tepe noktasının apsisinden yararlanarak b ve a arasındaki ilişkiyi bulma
b=ab = a
Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−12r = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2} olarak verilmiştir. Buradan içler dışlar çarpım�� ile b=ab = a elde edilir.
3
Eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık formülünü ve diskriminantı (\Delta) yazma
Δ=a2−24a\Delta = a^2 - 24a
Parabolün xx-eksenini kestiği noktalar ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökleridir. b=ab = a ve c=6c = 6 değerleri için diskriminant Δ=b2−4ac=a2−24a\Delta = b^2 - 4ac = a^2 - 24a olur.
4
Uzaklık denklemini kurup çözerek a değerini bulma
a=−1a = -1
Kökler arası uzaklık Δ∣a∣=5\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = 5 olduğundan a2−24a∣a∣=5  ⟹  a2−24a=25a2\frac{\sqrt{a^2 - 24a}}{|a|} = 5 \implies a^2 - 24a = 25a^2 elde edilir. Bu denklem 24a2+24a=024a^2 + 24a = 0 şeklinde düzenlenir. a≠0a \neq 0 olması gerektiğinden a=−1a = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ve tepe noktası apsisi ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru