Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, kolları yukarı doğru olan ve yy-eksenini negatif kısımda kesen bir f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c parabolünün koordinat eksenlerini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,c)C(0, c) olarak adlandırılıyor. Bu parabolün tepe noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktası dışında D(0,1)D(0, 1) noktasında kesmektedir.

Bu çemberin yarıçapı 55 birim ve parabolün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 88 birim olduğuna göre, parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    -19
  2. -13Cevap
  3. C
    -1
  4. D
    17
  5. E
    19

Cevap

Parabolün tepe noktasının koordinatları toplamı -13'tür.
Koordinat düzleminde çemberin geometrik özellikleri kullanılarak merkez koordinatları M(3,−3)M(3, -3) ve parabolün eksenleri kestiği noktalar A(−1,0)A(-1, 0), B(7,0)B(7, 0), C(0,−7)C(0, -7) olarak belirlenir. Bu noktaları sağlayan başkatsayısı pozitif parabol denklemi f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak kurulur. Tepe noktası T(3,−16)T(3, -16) olup, koordinatları toplamı −13-13 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin merkezinin ordinatını (yMy_M) belirleme.
yM=−3y_M = -3 ve c=−7c = -7
C(0,c)C(0, c) ve D(0,1)D(0, 1) noktaları çember üzerinde ve yy-eksenindedir. Bu iki noktanın orta noktası çemberin merkezinin ordinatını verir: yM=c+12y_M = \frac{c+1}{2}. ABAB kirişinin uzunluğu 88 birim olduğundan yarı uzunluğu 44 birimdir. Yarıçapı 55 birim olan çemberde merkezden xx-eksenine (kirişe) olan dik uzaklık Pisagor teoreminden yM2+42=52  ⟹  yM2=9  ⟹  yM=±3y_M^2 + 4^2 = 5^2 \implies y_M^2 = 9 \implies y_M = \pm 3 olur. Parabol yy-eksenini negatif kısımda kestiği için c<0c < 0 olmalıdır. yM=3  ⟹  c=5>0y_M = 3 \implies c = 5 > 0 (geçersiz) ve yM=−3  ⟹  c=−7<0y_M = -3 \implies c = -7 < 0 (geçerli) elde edilir.
2
Çemberin merkezinin apsisini (xMx_M) belirleme.
xM=3x_M = 3
Çemberin denklemi (x−xM)2+(y+3)2=25(x - x_M)^2 + (y + 3)^2 = 25 şeklindedir. D(0,1)D(0, 1) noktası çember üzerinde olduğundan (0−xM)2+(1+3)2=25  ⟹  xM2+16=25  ⟹  xM2=9  ⟹  xM=±3(0 - x_M)^2 + (1 + 3)^2 = 25 \implies x_M^2 + 16 = 25 \implies x_M^2 = 9 \implies x_M = \pm 3 bulunur. Parabolün tepe noktası dördüncü bölgede olduğundan simetri ekseninin apsisi r=xM>0r = x_M > 0 olmalıdır. Dolayısıyla xM=3x_M = 3 seçilir.
3
Parabolün xx-eksenini kestiği noktaları bulma.
x1=−1x_1 = -1 ve x2=7x_2 = 7
Çemberin merkezi M(3,−3)M(3, -3) ve xx-eksenindeki kirişinin yarı uzunluğu 44 birim olduğundan, kesişim noktaları 3−4=−13 - 4 = -1 ve 3+4=73 + 4 = 7 olarak elde edilir.
4
Parabol denklemini kurma ve tepe noktasını bulma.
f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 ve T(3,−16)T(3, -16)
Kökleri −1-1 ve 77 olan parabol f(x)=a(x+1)(x−7)f(x) = a(x + 1)(x - 7) şeklindedir. f(0)=c=−7  ⟹  a(1)(−7)=−7  ⟹  a=1f(0) = c = -7 \implies a(1)(-7) = -7 \implies a = 1 bulunur. Buradan parabol f(x)=x2−6x−7f(x) = x^2 - 6x - 7 olarak elde edilir. Tepe noktası T(r,k)T(r, k) için r=3r = 3 ve k=f(3)=32−6(3)−7=−16k = f(3) = 3^2 - 6(3) - 7 = -16 olur.
5
Tepe noktasının koordinatları toplamını hesaplama.
3+(−16)=−133 + (-16) = -13
Soruda istenen tepe noktasının koordinatları toplamını elde etmek için apsis ve ordinat toplanır.

Anahtar Kavram

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru