Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3
parabolünün eksenleri kestiği farklı noktalar AA, BB ve CC olarak adlandırılıyor.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenine CC noktasında teğet olduğuna göre, kk sayısının alabileceği farklı gerçel değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. -4Cevap
  2. B
    -3
  3. C
    -2
  4. D
    2
  5. E
    4

Cevap

Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri kullanılarak elde edilen denklemin gerçel köklerinin çarpımı olan -4 sayısı doğru cevaptır.
Çemberin teğetlik ve kiriş özellikleri doğrultusunda merkezinin M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçapının R=∣k+1∣R = |k+1| olduğu tespit edilir. Merkezin A(k−1,0)A(k-1, 0) noktasına uzaklığından elde edilen k2+2k−4=0k^2+2k-4 = 0 denkleminin kökler çarpımı −4-4 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleyelim.
f(x)=x2−2(k+1)x+k2+2k−3=0f(x) = x^2 - 2(k+1)x + k^2 + 2k - 3 = 0 denkleminin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olsun. Kökler x1,2=(k+1)±2x_{1,2} = (k+1) \pm 2 şeklinde bulunur. Böylece xx-eksenini kesim noktaları A(k−1,0)A(k-1, 0) ve B(k+3,0)B(k+3, 0) olur. yy-eksenini kesim noktası ise C(0,k2+2k−3)C(0, k^2+2k-3)'tür.
Çemberin geçeceği noktaların koordinatlarını elde etmek için parabolün eksenleri kestiği noktalar hesaplanır.
2
Çemberin merkezini ve yarıçapını belirleyelim.
Çember yy-eksenine C(0,yC)C(0, y_C) noktasında teğet olduğundan merkezinin yy-koordinatı yC=k2+2k−3y_C = k^2+2k-3 olur. Çember AA ve BB noktalarından geçtiği için merkezinin xx-koordinatı simetri ekseni üzerinde olmalıdır: x0=(k−1)+(k+3)2=k+1x_0 = \frac{(k-1)+(k+3)}{2} = k+1. Dolayısıyla merkez M(k+1,k2+2k−3)M(k+1, k^2+2k-3) ve yarıçap R=∣k+1∣R = |k+1| olur.
Teğetlik ve kiriş özelliklerini kullanarak çemberin geometrik denklemini kurmak için bu koordinatlar belirlenir.
3
Merkezin çember üzerindeki AA noktasına olan uzaklığını yarıçapa eşitleyelim.
((k+1)−(k−1))2+(k2+2k−3−0)2=R2  ⟹  4+(k2+2k−3)2=(k+1)2((k+1) - (k-1))^2 + (k^2+2k-3 - 0)^2 = R^2 \implies 4 + (k^2+2k-3)^2 = (k+1)^2 denklemi elde edilir.
Çemberin üzerindeki bir noktanın merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olduğundan bu bağıntı yazılır.
4
Değişken değiştirme yöntemiyle denklemi çözelim.
t=k2+2k−3t = k^2+2k-3 dersek (k+1)2=k2+2k+1=t+4(k+1)^2 = k^2+2k+1 = t+4 olur. Buradan 4+t2=t+4  ⟹  t2−t=0  ⟹  t(t−1)=04 + t^2 = t + 4 \implies t^2 - t = 0 \implies t(t-1) = 0 bulunur. Buradan t=0t = 0 veya t=1t = 1 elde edilir.
İkinci dereceden denklemi basitleştirerek çözmek için değişken değiştirme uygulanır.
5
Noktaların farklı olması koşulunu inceleyerek kk değerlerini bulalım.
t=0  ⟹  k2+2k−3=0t = 0 \implies k^2+2k-3 = 0 durumunda C(0,0)C(0,0) olur, bu durumda parabol orijinden geçer ve kesim noktaları çakışır. Noktaların farklı olması gerektiğinden bu durum elenir. t=1  ⟹  k2+2k−3=1  ⟹  k2+2k−4=0t = 1 \implies k^2+2k-3 = 1 \implies k^2+2k-4 = 0 denklemi kalır. Bu denklemin diskriminantı Δ=20>0\Delta = 20 > 0 olup iki farklı gerçel kökü vardır. Kökler çarpımı ise Vieta formülünden −41=−4\frac{-4}{1} = -4 olarak bulunur.
Soruda verilen koşullara uyan geçerli kk değerlerinin çarpımını bulmak için bu analiz tamamlanır.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar, simetri ekseni, çemberin analitik incelenmesi ve teğetlik özellikleri.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru