Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDizi Kavramı ve Genel Terim

(an)(a_n) dizisinin genel terimi

an=n2−(k+3)n+4ka_n = \sqrt{n^2 - (k+3)n + 4k}

olarak veriliyor.

Bu ifadenin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için kk gerçel sayısının alabileceği tüm değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (3, 5)
  2. B
    [3, 4]
  3. [3, 5]Cevap
  4. D
    [4, 5]
  5. E
    [2, 5]

Cevap

Sınır noktalarını da kapsayan üç ile beş kapalı aralığıdır.
Dizi tanımı gereği genel terim her pozitif tam sayı nn için tanımlı olmalıdır. Kareköklü bir genel terimin her pozitif tam sayı için gerçel sayı belirtmesi ise kök içinin negatif olmamasını gerektirir. n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 ifadesi (n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, kökler 44 ve kk olur. İşaret tablosuna göre bu ifadenin negatif olduğu tek yer bu iki kök arasıdır. Pozitif tam sayılarda tanımsızlık olmaması için bu kökler arasına hiçbir pozitif tam sayı girmemelidir. kk sayısı en küçük 33 (3 ile 4 arasında tam sayı yoktur), en büyük 55 (4 ile 5 arasında tam sayı yoktur) olabilir. Dolayısıyla kk değerlerinin kümesi üç ile beş kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık şartını belirleyin.
n2−(k+3)n+4k≥0n^2 - (k+3)n + 4k \geq 0 eşitsizliği her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için sağlanmalıdır.
Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisinde tanımlı ve gerçel sayı olması, yani karekökün içinin negatif olmaması gerekir.
2
Karekök içerisindeki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
(n−4)(n−k)≥0(n-4)(n-k) \geq 0 eşitsizliği elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadelerin köklerini bulmak ve işaret incelemesini kolaylaştırmak için çarpanlara ayırma yapılır.
3
Eşitsizliğin pozitif tam sayılarda her zaman sağlanma koşulunu köklerin konumuna göre analiz edin.
İfadenin kökleri 44 ve kk sayılarıdır. Çarpımın negatif olduğu bölge bu iki kökün arasıdır. Dolayısıyla bu iki kök arasındaki açık aralıkta hiçbir pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) bulunmamalıdır.
Eğer kökler arasında bir pozitif tam sayı kalırsa, o terim için genel terimin içi negatif olur ve dizi tanımsızlaşır.
4
Kökler arasındaki aralıkta pozitif tam sayı bulunmaması için sınır durumlarını inceleyin.
Eğer k<3k < 3 olursa 33 pozitif tam sayısı kk ile 44 arasında kalır. Eğer k>5k > 5 olursa 55 pozitif tam sayısı 44 ile kk arasında kalır. Bu durumda 3≤k≤53 \leq k \leq 5 olmalıdır.
Sınır değerleri olan 3 ve 5 değerleri kök aralığının sınırında olduğu için aralığın içine tam sayı düşmesini engeller. Bu değerler test edildiğinde de eşitsizliği her pozitif tam sayı için sıfır veya sıfırdan büyük yaptığı görülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi kısıtı ve genel terimin pozitif tam sayılarda tanımlı olma şartı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru