Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
aa bir tam sayı olmak üzere,
x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının sayısı 55 olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Farklı aa tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Verilen x2−2ax+a2−a−4≤0x^2 - 2ax + a^2 - a - 4 \le 0 eşitsizliği (x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4 şeklinde yazılabilir. Çözüm kümesi [a−a+4,a+a+4][a-\sqrt{a+4}, a+\sqrt{a+4}] kapalı aralığıdır. Merkez elemanı aa tam sayısı olan bu simetrik aralıkta tam olarak 5 tane tam sayı bulunabilmesi için bu sayıların a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olması gerekir. Bu durum 2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 koşulunu gerektirir. Buradan 4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5 elde edilir. aa'nın alabileceği tam sayı değerleri 0, 1, 2, 3, 4 olup toplamları 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik ifadesini tam kareye tamamlayarak düzenleyin.
(x−a)2≤a+4(x-a)^2 \le a+4
Eşitsizliğin sınırlarını ve köklerin simetrisini aa parametresi cinsinden daha kolay analiz edebilmek için.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesini aa cinsinden kapalı aralık olarak yazın.
a−a+4≤x≤a+a+4a - \sqrt{a+4} \le x \le a + \sqrt{a+4}
x2−2ax+a2=(x−a)2x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2 ifadesinin karekökü alınarak xx yalnız bırakılır. Eşitsizliğin gerçel sayılarda çözümünün olabilmesi için a+4≥0a+4 \ge 0 olmalıdır.
3
Çözüm aralığındaki tam sayı adedinin 5 olmasını sağlayan eşitsizlik koşulunu belirleyin.
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3
aa bir tam sayı olduğundan, aralık aa noktasına göre simetriktir. Aralıktaki 5 tam sayı a−2,a−1,a,a+1,a+2a-2, a-1, a, a+1, a+2 olmalıdır. Bu durum, üst sın��r olan a+a+4a+\sqrt{a+4} değerinin a+2a+2 ile a+3a+3 arasında (alt sınıra eşit olabilir, üst sınıra eşit olamaz) olmasını gerektirir.
4
Elde edilen eşitsizliği çözerek aa tam sayısının alabileceği değerler kümesini bulun.
4≤a+4<9  ⟹  0≤a<54 \le a+4 < 9 \implies 0 \le a < 5
2≤a+4<32 \le \sqrt{a+4} < 3 eşitsizliğinde her iki tarafın karesi alınarak aa yalnız bırakılır.
5
Koşulu sağlayan farklı aa tam sayılarının toplamını bulun.
0+1+2+3+4=100 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10
0≤a<50 \le a < 5 aralığındaki aa tam sayıları {0,1,2,3,4}\{0, 1, 2, 3, 4\} değerleridir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kareye tamamlama yöntemi ve çözüm aralığındaki tam sayıların simetri analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi