Kütlesi M, boyu L olan homojen ve düzgün bir çubuğun uçlarına kütlesi m olan iki adet nokt… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Kütlesi $M$ , boyu $L$ olan homojen ve düzgün bir çubuğun uçlarına kütlesi $m$ olan iki adet noktasal parçacık yapıştırılmıştır. Sistem, çubuğun tam ortasından geçen ve çubuğa dik olan sabit bir eksen etrafında dönmektedir.

Noktasal parçacıklar, çubuğun uçlarından sökülerek çubuğun orta noktası ile uçlarının tam ortasına (dönme eksenine $\frac{L}{4}$ uzaklıktaki noktalara) yerleştiriliyor.

**Bu işlem sonucunda sistemin dönme eksenine göre eylemsizlik momenti yarıya indiğine göre, çubuğun kütlesinin parçacıklardan birinin kütlesine oranı ( $\frac{M}{m}$ ) kaçtır?**

(Çubuğun merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti $I_{\text{çubuk}} = \frac{1}{12}ML^2$ formülüyle hesaplanır. Noktasal parçacıkların eylemsizlik momenti $I_{\text{parçacık}} = m r^2$ alınacaktır.)

A
$12$
B
$6$
$3$ Cevap
D
$\frac{3}{2}$
E
$\frac{3}{4}$

Cevap

Çubuğun kütlesinin bir parçacığın kütlesine oranı 3'tür.

Doğru cevap, çubuğun kütlesinin bir parçacığın kütlesine oranının 3 olduğunu belirten seçenektir. Çubuğun eylemsizlik momenti

I_{\text{çubuk}} = \frac{1}{12}ML^2

olup sabittir. İlk durumda dönme eksenine

L/2

uzaklıkta olan iki parçacığın toplam eylemsizlik momenti

2 \times m \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}mL^2

olur. İlk durumdaki toplam eylemsizlik momenti

I_1 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{2}mL^2

şeklindedir. İkinci durumda parçacıklar eksene

L/4

uzaklığa getirildiğinde toplam eylemsizlik momentleri

2 \times m \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{1}{8}mL^2

olur. İkinci durumdaki toplam eylemsizlik momenti ise

I_2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{8}mL^2

olur.

I_2 = \frac{1}{2}I_1

eşitliğinden

\frac{M}{12} + \frac{m}{8} = \frac{M}{24} + \frac{m}{4}

denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde

\frac{M}{24} = \frac{m}{8}

ve buradan

\frac{M}{m} = 3

bulunur.

Adım Adım Çözüm

İlk durumdaki toplam eylemsizlik momentini yazın.

I_1 = \frac{1}{12}ML^2 + 2 \times m\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \left(\frac{M}{12} + \frac{m}{2}\right)L^2

Eylemsizlik momenti skaler bir büyüklük olduğundan, çubuğun ve uçlarındaki iki noktasal parçacığ��n eylemsizlik momentleri doğrudan toplanır. Parçacıklar uçlarda olduğundan dönme eksenine olan uzaklıkları

L/2

kadardır.

İkinci durumdaki toplam eylemsizlik momentini yazın.

I_2 = \frac{1}{12}ML^2 + 2 \times m\left(\frac{L}{4}\right)^2 = \left(\frac{M}{12} + \frac{m}{8}\right)L^2

İkinci durumda çubuk sabit kalırken parçacıklar dönme ekseninden

L/4

uzaklıktaki noktalara getirilir, bu yüzden parçacıkların yeni eylemsizlik momentleri hesaplanır.

Eylemsizlik momentinin yarıya inmesi koşulunu kullanarak denklem kurun ve çözün.

I_2 = \frac{1}{2}I_1 \implies \frac{M}{12} + \frac{m}{8} = \frac{1}{2}\left(\frac{M}{12} + \frac{m}{2}\right) \implies \frac{M}{24} = \frac{m}{8} \implies \frac{M}{m} = 3

Soruda belirtilen eylemsizlik momentinin yarıya düşmesi ifadesi matematiksel olarak eşitlenerek çubuğun kütlesi

M

ile parçacık kütlesi

m

arasındaki ilişki elde edilir.

Anahtar Kavram

Eylemsizlik momenti, dönen bir cismin dönme hareketindeki değişime karşı gösterdiği dirençtir ve kütle ile kütlenin dönme eksenine olan uzaklığının karesinin çarpımına (

m r^2

) bağlıdır. Birden fazla cisimden oluşan sistemlerde toplam eylemsizlik momenti, her bir parçanın eylemsizlik momentlerinin skaler toplamına eşittir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru