Eylemsizlik Momenti

Noktasal bir cismin eylemsizlik momenti, cismin kütlesi ile dönme eksenine olan dik uzaklığının karesinin çarpımı ile hesaplanır ($I = m \cdot r^2$).

Dönme eksenine olan dik uzaklıkları ve kütleleri şekilde verilen $K$ ve $L$ noktasal cisimlerinin eylemsizlik momentleri sırasıyla $I_K$ ve $I_L$ olduğuna göre, $\frac{I_K}{I_L}$ oranı kaçtır?

Kütlesi $M$, boyu $L$ olan homojen ve düzgün bir çubuğun uçlarına kütlesi $m$ olan iki adet noktasal parçacık yapıştırılmıştır. Sistem, çubuğun tam ortasından geçen ve çubuğa dik olan sabit bir eksen etrafında dönmektedir.

Noktasal parçacıklar, çubuğun uçlarından sökülerek çubuğun orta noktası ile uçlarının tam ortasına (dönme eksenine $\frac{L}{4}$ uzaklıktaki noktalara) yerleştiriliyor.

**Bu işlem sonucunda sistemin dönme eksenine göre eylemsizlik momenti yarıya indiğine göre, çubuğun kütlesinin parçacıklardan birinin kütlesine oranı ($\frac{M}{m}$) kaçtır?**

(Çubuğun merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti $I_{\text{çubuk}} = \frac{1}{12}ML^2$ formülüyle hesaplanır. Noktasal parçacıkların eylemsizlik momenti $I_{\text{parçacık}} = m r^2$ alınacaktır.)

Noktasal cisimlerin eylemsizlik momentlerinin bağlı olduğu değişkenleri analiz etmek isteyen bir öğrenci, bazı işlemler gerçekleştirmektedir. Sol sütunda verilen fiziksel işlemleri, sağ sütunda verilen ve bu işlemler sonucunda cismin eylemsizlik momentinde meydana gelen değişimlerle eşleştiriniz.

Boyu $L$, kütlesi $M$ olan homojen, ince ve düzgün bir tel, tam orta noktasından bükülerek birbirine dik iki eşit kola sahip L şeklinde bir çerçeve haline getiriliyor.

Bu çerçeve, aşağıdaki eksenler etrafında çerçeve düzlemine dik olacak şekilde döndürüldüğünde eylemsizlik momentleri sırasıyla $I_1$, $I_2$ ve $I_3$ olmaktadır:
- $I_1$: Çerçevenin büküm noktasından (köşesinden) geçen eksene göre eylemsizlik momenti,
- $I_2$: Çerçevenin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti,
- $I_3$: Çerçevenin kollarından birinin orta noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti.

Buna göre; $I_1$, $I_2$ ve $I_3$ arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

Dönme hareketi yapan cisimlerin eylemsizlik momentleri, kütlelerine ve kütlelerinin dönme eksenine olan uzaklık dağılımına bağlıdır. Aşağıda sol sütunda eylemsizlik momentini etkileyen bazı fiziksel değişiklikler, sağ sütunda ise bu değişikliklerin sistemin eylemsizlik momenti üzerindeki etkileri verilmiştir.

Buna göre, sol sütundaki olaylar ile sağ sütundaki etkileri doğru şekilde eşleştiriniz.

(Çubuğun kütle merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $I_{\text{km}} = \frac{1}{12}ML^2$, ucundan geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $I_{\text{uç}} = \frac{1}{3}ML^2$; homojen diskin merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $I_{\text{disk}} = \frac{1}{2}MR^2$ şeklindedir.)

Eylemsizlik momenti, dönme hareketi yapan cisimlerin dönme ivmesine karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür. Aşağıda verilen fiziksel durumlar ile bu durumların cisimlerin eylemsizlik momenti ($I$) üzerindeki etkilerini doğru şekilde eşleştiriniz.

Kütlesi $M$, yarıçapı $R$ olan homojen, ince bir çemberin merkezinden geçen ve çember düzlemine dik eksene göre eylemsizlik momenti $I = M R^2$ olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, sol sütundaki fiziksel işlemleri, sağ sütundaki eylemsizlik momentinde meydana gelen değişimlerle doğru bir şekilde eşleştiriniz.

Kütlesi önemsiz, kenar uzunluğu $d$ olan kare şeklindeki bir çerçevenin köşelerine sırasıyla $K(m)$, $L(2m)$, $M(m)$ ve $N(2m)$ kütleli noktasal cisimler yerleştirilmiştir.

Sistem, kare düzleminde bulunan üç farklı eksen etrafında döndürülmektedir:
- $I_1$: $K$ ve $N$ cisimlerinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti,
- $I_2$: $K$ ve $M$ cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti,
- $I_3$: $L$ ve $N$ cisimlerinden geçen köşegen ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti.

Buna göre; $I_1$, $I_2$ ve $I_3$ eylemsizlik momentleri arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisidir?

Kütlesi önemsiz, $L$ uzunluğundaki homojen görünümlü düz bir çubuğun uçlarına sırasıyla $m$ ve $4m$ kütleli noktasal iki cisim yapıştırılmıştır. Bu sistem, kütle merkezinden geçen ve çubuğa dik olan bir eksen etrafında döndürüldüğünde, sistemin toplam eylemsizlik momenti kaç $m L^2$ olur?

Kütlesi $M$, yarıçapı $R$ olan homojen, ince bir disk, merkezinden geçen ve disk düzlemine dik eksen etrafında dönmektedir. Bu diskin merkezinden $R/2$ yarıçaplı dairesel bir kısım kesilip çıkarılıyor.

Buna göre, diskin kalan kısmının aynı dönme eksenine göre eylemsizlik momenti kaç $M R^2$ olur?
(Homojen, dolu bir diskin merkezinden geçen dik eksene göre eylemsizlik momenti $I = \frac{1}{2} m r^2$ formülüyle hesaplanır.)

Boyutları aynı, homojen ve ince olan özdeş çubuklar��n farklı eksenler etrafında dönme durumları verilmiştir. Sol sütunda verilen dönme eksenlerini, sağ sütunda bu eksenlere göre tanımlanan eylemsizlik momenti özellikleri ile eşleştiriniz.